QUOI ENCORE ?... QUOI DE NEUF ?...
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tu as dis chaos ?
Une définition qu'on aurait tendance à donner au terme "chaos" en mathématiques est la suivante : comportement stochastique se produisant dans un système déterministe.
Nous devons alors cerner davantage la signification des termes "stochastique" et "déterministe" car cette définition est paradoxale.
Un processus déterministe est gouverné par des lois exactes et immuables;
connaissant ses conditions initiales à un instant donné quelconque, on peut
retracer son passé et prédire son futur.
Un processus stochastique est dominé par la loi du hasard
et est irrégulier.
Le chaos est donc un processus ou un comportement sans loi entièrement gouverné par une loi !!
Par ailleurs, on n'a nullement besoin de chercher la complexité pour aller à la rencontre du chaos. Un système simple suffit pour qualifier son comportement de chaotique.
L'incertitude n'est pas liée à la complexité.
Souvent elle peut être générée par des mécanismes très
simples.
Enfin, le chaos se caractérise également par sa sensibilité aux conditions initiales : il suffit de petits écarts initiaux pour qu'il les amplifie dans son comportement.
Un système chaotique ne relève pas
obligatoirement de la complexité ; il peut être simple.
Il amplifie les
petits écarts initiaux et seulement elles.
On dit qu'il est sensible aux conditions initiales.
Quant aux grandes déviations, elles engendreront de grandes déviations.
Ces assertions étant énoncées, nous allons dans cette page étudier un modèle mathématique
simple de
système chaotique.
1 - Les préalables - application logistique et itération - étirement et compression - pliage
Soit un segment [AB] unitaire . Nous allons supposer A son origine . Tout point m de ce segment est parfaitement déterminé par son abscisse x .
Soit une application f définie par :
Pour k constante réelle comprise entre 0 et 4 et préalablement fixée , itérer l'application f signifie que pour le temps t tel que t prenant ses valeurs dans {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... } :
Ainsi nous obtenons la suite x0 ; kx0 (1 - x0 ) = x1 ; kx1 (1 - x1 ) = x2 ; kx2 (1 - x2 ) = x3 ; kx3 (1 - x3 ) = x4 ; ... ; kxt (1 - xt ) = xt+1 , etc.
f sera appelée application logistique .
Le système { [AB] unitaire ; [0;4] ; f ; itérations de f
avec des résultats à 5 chiffres après la virgule } est dit système dynamique
discret car le temps t évolue par étapes saccadées d'un entier naturel
à l'autre qui le suit immédiatement .
Par ailleurs et pour la suite , nous utiliserons le logiciel Maple V /
Release 4 pour pouvoir effectuer les itérations avec 5 chiffres après la
virgule . Mais aussi il faudra savoir que le choix du nombre de chiffres après
la virgule est arbitraire et que nous aurions pu choisir 10 ou 50 .
Enfin les résultats dépendent également de l'ordinateur utilisé pour les calculs . Par exemple , dans ce qui suit , celui utilisé est un Compaq Presario / Penthium III, muni de Windows 98 SE.
Nous allons appliquer f à notre segment [AB] , en prenant pour k la valeur 3 , puis ensuite la valeur 0,1 .
Pour k = 3 , tous les points de [AB] compris
entre 0 et 0,5 s'appliquent par f sur les points compris entre 0 et 0,75.
Tous
les points de [AB] compris entre 0,5 et 1 s'appliquent sur les points 0,75 et 0 .
Ainsi f a étiré le segment [AB] pour qu'il recouvre deux fois le
segment [0 ; 0,75] .
Nous dirons que f , en agissant sur [AB] , procède par étirement
et pliage .
Pour k petit , pour fixer les idées prenons k =
0,1 , tous les points de [AB] compris entre 0 et 0,5 s'appliquent par f sur les
points compris entre 0 et 0,025 . Tous les points de [AB] compris entre 0,5 et 1
s'appliquent sur les points 0,025 et 0 .
Ainsi f a comprimé le segment [AB] pour qu'il recouvre deux fois
le segment [0 ; 0,025] .
Nous dirons que f , en agissant sur [AB] , procède par
compression et pliage .
Qu'il s'agisse d'étirement ou de compression , pour
une valeur de k donnée , l'application logistique f plie le segment [AB]
pour le déposer par dessus le segment [0 ; k/4] .
2 - Attracteurs d'un système dynamique - bifurcations et
cascade de doublements de période.
Nous allons maintenant étudier le comportement à long terme de notre système dynamique défini auparavant , ceci en itérant plusieurs fois f , avec diverses valeurs de k comprises entre 0 et 4 .
Imaginons k un curseur de notre système et
l'équation définie par f ,
la loi qui régit ce dernier .
Examinons le cas : k
appartient à l'intervalle [0 ; 3[ .
Par exemple k = 2 .
Itérons f en prenant pour valeur initiale x0 de x égale à 0,6 .
Nous obtenons la séquence suivante : x0 = 0,6 ;
2x0 (1 -
x0 ) = x1 = 0,48000 ;
2x1 (1 - x1 ) = x2 = 0,49920
;
2x2 (1
- x2 ) = x3 = 0,50000 ;
2x3 (1 - x3 ) = x4 = 0,50000
;
2x4 (1 - x4 ) = x5 = 0,50000
;
2x5 (1 - x5 ) = x6 = 0,50000
;
2x6 (1 -
x6 ) = x7 = 0,5 ; 2x7 (1 - x7 ) = x8
= 0,5 ; ...
A partir de x3 l'itération de f montre que toutes les valeurs xt
avec t largement supérieur à 3 sont toutes égales à 0,5 .
Prenons une autre valeur initiale , par exemple x0
= 0,45 .
Nous obtenons la séquence suivante : x0 = 0,45 ;
2x0 (1 -
x0 ) = x1 = 0,49500
;
2x1 (1 - x1 ) = x2 = 0,49995
;
2x2 (1
- x2 ) = x3 = 0,50000
;
2x3 (1 - x3 ) = x4 = 0,50000 ;
2x4 (1 - x4 ) = x5 = 0,50000 ;
2x5 (1 - x5 ) = x6 = 0,5
; 2x6 (1 - x6 ) = x7 = 0,5 ;
2x7 (1 - x7 ) = x8
= 0,5 ; ...
L'itération de f montre que toutes les valeurs xt
avec t largement supérieur à 3 sont toutes égales à 0,5 .
Quelle que soit la valeur initiale x0
, le système évolue de manière à se stabiliser définitivement au point 0,5
.
Nous pouvons vérifier cette stabilité en remarquant que pour x = 0,5 , 2x(1-x)
= 0,5 , ou par le calcul ou encore par le procédé géométrique suivant : dans
un repère orthonormé quelconque , traçons la courbe représentative P de f(x)
= y = 2x(1-x) , puis la première bissectrice D .
Itérons à partir d'une valeur initiale x0 .
A partir de x0
nous traçons la verticale qui vient couper la parabole
au point m1
d'ordonnée x1 .
Puis de ce point, traçons l'horizontale qui vient
couper D en un point m'1 dont l'abscisse , égale à l'ordonnée ,
vaut x1 .
A partir de x1 nous traçons la verticale qui vient couper la
parabole P au point m2 d'ordonnée x2 , puis de ce
point, traçons l'horizontale qui vient couper D en un point m'2 dont
l'abscisse est x2 ; et ainsi de suite .
Pour k = 2 , une sorte de toile d'araignée erre au-dessus de D puis
tourne en spirale vers l'intérieur en se dirigeant vers le point où la
parabole P rencontre D .
Ce point est fixe et la stabilité découle du fait que
la toile d'araignée tourne en spirale vers l'intérieur .
Si nous reproduisons l'expérience pour
toute valeur de k
appartenant à [0 ; 3[ , nous constaterons que cette
toile tourne
en spirale vers l'intérieur jusqu'à ce qu'elle vienne se
stabiliser définitivement au point d'intersection fixe de la parabole et de D .
A partir de ce moment le système reste en ce point et
plus rien
ne se produit .
Nous dirons que ce point fixe est stable et que
l'intervalle [0 ; 3[
est un régime stationnaire .
Le point fixe et stable s'appellera attracteur du
système .
Examinons ensuite le cas : k
appartient à l'intervalle [3 ; 4[ .
Pour k = 3 , la convergence vers le point fixe se
fait d'une manière extrêmement lente .
Lorsque k est strictement supérieur à 3 , ce point devient instable
et la toile d'araignée tourne en spirale vers l'extérieur .
Ainsi chaque fois que nous nous trouvons avec un
système dynamique dont une solution devient instable à partir d'une certaine
valeur de son paramètre , nous nous poserons la question :
où va-t-il
maintenant se diriger ?
Il ne restera pas instable : il ira faire autre chose et c'est la théorie
de la bifurcation qui nous permettra de découvrir ses états au-delà
de cette instabilité .
Prenons par exemple k = 3,2 . Traçons la toile
d'araignée correspondante .
Nous découvrirons que cette fois-ci la spirale
dirigée vers l'extérieur , ralentit et finit par converger vers une boucle
carrée .
En effet la valeur de xt oscille alternativement entre deux
réels
distincts .
Nous dirons que notre système est rentré dans un régime
périodique dont le cycle est de période 2 pour k = 3,2 .
A l'aide de Maple V / Release 4 nous trouvons ce cycle de période 2 .
Nous avons donc fixé k à 3,2 et à partir de la valeur initiale 0,5 , 7 itérations de f ont permis de découvrir les deux nombres , à
5 chiffres
après la virgule , vers lesquels converge le système alternativement .
Il
s'agit des nombres suivants :
0,79944
et
0,51307
Le curseur étant sur k= 3,2 , le cycle de période 2 est l'attracteur du système .
Maple étant un logiciel canadien , la virgule
est ici représentée par un point .
Il faudra noter également la partie ci-dessous indiquée en caractères rouges
qui est le programme ayant servi aux calculs .
> n:=10:
> k:=3.2:
> x:=1/2:
> for i from 1 to n do
> x:=k*x*(1-x):
> Digits:=5:
> evalf(x);
> od;
x := .8000000000
Digits := 5
.80000
x := .51200
Digits := 5
.51200
x := .79954
Digits := 5
.79954
x := .51288
Digits := 5
.51288
x := .79946
Digits := 5
.79946
x := .51304
Digits := 5
.51304
x := .79944
Digits := 5
.79944
x := .51307
Digits := 5
.51307
x := .79944
Digits := 5
.79944
x := .51307
Digits := 5
.51307