QUOI ENCORE ?...QUOI DE NEUF ?...(2)

QUOI ENCORE ?...QUOI DE NEUF ?...
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tu as dis chaos ?

Augmentons k jusqu'à environ 3,5 .
Nous remarquerons que l'attracteur de période 2 devient à son tour instable et un cycle de période 4
apparaît .

En effet pour k = 3,5 et pour valeur initiale de x égale à 0,5 , Maple donne après 5 itérations de f , le cycle de période 4 suivants :

0,87502 ;

0,38276 ;

0,82692 ;

0,50093 .

Ce cycle de période 4 est ainsi le nouveau attracteur du système .
De k = 3,2 à k = 3,5 , le cycle a doublé de période en passant
de 2 à 4 .
Nous dirons qu'une bifurcation a eu lieu .

Nous avons reproduit ci-dessous le programme de calculs sur Maple .

> n:=10:
> k:=3.5:
> x:=1/2:
> for i from 1 to n do
> x:=k*x*(1-x):
> Digits:=5:
> evalf(x);
> od;

Pour k = 3,56 , le cycle de période 4 disparaît en cédant la place
à un cycle de période 8 qui sera le nouveau attracteur du système .
Au passage à cette valeur de k , le cycle a encore doublé et le
système a subi une nouvelle bifurcation .

Pour k = 3,567 , le système bifurque de nouveau et le cycle de période 8 disparaît à son tour pour céder la place à un cycle de période 16 .

Rappelons que ces résultats sont obtenus à l'aide de l'ordinateur
utilisé par Lam aleph .

Nous pouvons ainsi continuer à bouger le curseur pour obtenir une séquence rapide de doublements de période jusqu'à des périodes de 32 , 64 , 128 , ...
Cette cascade de doublements de période est tellement rapide que lorsque k atteint environ la valeur 3,58 , tout est terminé :
la période a déjà doublé un nombre infini de fois ; le système ,
faisant de son mieux pour rester périodique avec des périodes
de plus en plus longues , finit par être chaotique .

Pour k = 4 , notre système plonge parfaitement dans le chaos .
Maple et notre ordinateur donnent le résultat suivant pour k = 4 ,
x₀ = 0,9 et pour les quinze premières itérations : 0,36000 ; 0,92160 ; 0,28901 ; 0,82194 ; 0,58542 ; 0,97081 ; 0,11334 ; 0,40197 ;
0,96156 ; 0,14784 ; 0,50392 ; 0,99994 ; 0,00024630 ; 0,00098498 ; 0,0039360 .

A partir de cette valeur de k et pour une valeur initiale quelconque
que prend le système à l'instant t = 0 , ce dernier erre d'une manière chaotique :
il va passer aussi près que nous voulons de tous les points de notre intervalle [0 ; 1] ; c'est l'intervalle tout entier qui devient attracteur
du système .

Le système devient-il davantage compliqué en augmentant k ?

Nous verrons à la prochaine édition de Lam aleph que ce n'est pas le cas .

Nous verrons que le chaos dans lequel plonge notre système possède en son sein des fenêtres déterministes :
c'est ce que nous appellerons l'ordre dans le chaos .

Nous étudierons également la structure géométrique du chaos
ainsi que ses propriétés , et à propos de sa géométrie , en guise
de conclusion à la présente et d'introduction à la prochaine page , Lam aleph nous dévoile ci-dessous cette géométrie :