L'EXERCICE
POUR
LE COLLEGE
(page 1)
les
thèmes abordés dans cette
page
les pourcentages
(6ème)
la
logique, les vitesses et le calcul du volume d'un solide
(5ème)
Thalès, Pythagore et trigonométrie
(4ème)
applications linéaire et affine; système d'équations
(3ème)
un peu d'arithmétique quotidienne
(groupe ciblé : sixième)
1ère partie
J'ai été livré d'une machine
électroménagère dont le prix TTC est de 1200 €.
J'ai déjà versé 30 % à la commande.
Combien me reste- t-il à payer au fournisseur ?
2ème partie
Dans un pays, les prix ont augmenté de 300 % en
un seule année.
Combien coûte aujourd'hui un objet qui valait 260 € il
y a un an ?
Ta montre valait l'année dernière 50 €. Combien aujourd'hui tu l'aurais
payée dans ce pays ?
3ème partie
J'ai acheté 4 revues ayant le même prix et un
quotidien qui vaut 1,50 €.
Je donne au libraire 20 € et il me rend 6,50 €.
Combien coûte une revue ?
Solutions
1ère partie
Je dois d'abord calculé les 30 % des 1200 €.
(1200 x 30) : 100 € = 360 €
Il me reste donc à payer :
1200 € - 360 € = 840 €
2ème partie
D'abord tu dois calculer l'augmentation subie par l'objet, c'est-à-dire :
En conclusion, cet objet coûte aujourd'hui (260 + 780) € = 1040 €.
L'augmentation subie par ma
montre est de :
Donc je l'aurais payée aujourd'hui, dans ce pays,
(50 + 150) € = 200 €
3ème partie
D'abord je dois calculé le coût
total de mes achats :
(20 - 6,50) € = 13,50 €
Ensuite, j'en déduis le coût du quotidien pour trouver celui des 4 revues :
13, 50 € - 1,50 € = 12 €
En conclusion, le prix d'une revue est de :
Périmètre du cercle
(groupe ciblé : sixième)
1- Je découvre π
Je dois d’abord me munir :
- d’un rouleau de ficelle
- d’un rouleau de scotch
- d’un compas
- d’une règle graduée
- d’un crayon
- des ciseaux
Ma première expérience
Sur des feuilles de
papier, à l’aide de mon compas, je trace cinq cercles a, b, c, d et e,
de rayons respectifs : 4cm, 5cm, 7cm, 8cm, 10cm (un cercle par feuille).
Sur une feuille
indépendante, je construis un tableau à six colonnes et quatre lignes.
Je peux déjà remplir les deux premières lignes.
cercles |
a |
b |
c |
d |
e |
Diamètre : d |
8cm |
10cm |
14cm |
16cm |
20cm |
Longueur de ficelle mesurée : L |
|
|
|
|
|
L / d |
|
|
|
|
|
La troisième ligne correspond aux longueurs de ficelle que j’aurai à mesurer en fin d’expérience.
La quatrième ligne se remplira en faisant la division de L par d.
Pour chacun de ces cercles, je procède ensuite de la manière suivante :
Avec mon crayon, je repère un point quelconque sur le cercle.
Je « scotche » ensuite l’extrémité libre du rouleau de ficelle sur ce point.
Je continue à
« scotcher » la ficelle à plusieurs endroits du cercle, en veillant à ce qu’elle
reste confondue avec lui. Pour cela,
l’avancement devra se faire à petits
intervalles.
Ayant fait le tour, ma ficelle devra atteindre le point que j’ai repéré au départ.
C’est à cet endroit que je dois la couper avec mes ciseaux.
La situation devra ressembler au schéma suivant :
Le point repéré au départ est nommé D
sur le schéma.
Les petits rectangles représentent les petits morceaux de scotch qui
maintiennent la ficelle
(tracée en rouge sur le schéma)
dans une position la plus
proche possible du cercle
Je récupère ensuite ce morceau de ficelle en le détachant du cercle.
A l’aide de ma règle
graduée, je mesure la longueur de ce morceau et je la note, dans mon tableau,
en l’inscrivant à l’endroit correspondant au cercle avec lequel j’ai travaillé.
Ayant rempli mon tableau, j’obtiens le résultat suivant :
cercles |
a |
b |
c |
d |
e |
Diamètre : d |
8cm |
10cm |
14cm |
16cm |
20cm |
Longueur de ficelle mesurée : L |
25,17cm |
31,38cm |
44,1cm |
50,27cm |
62,8cm |
L / d |
|
|
|
|
|
Je procède ensuite
aux divisions successives de L par d et je remplis la dernière ligne du tableau
en y inscrivant les résultats de ces divisions.
cercles |
a |
b |
c |
d |
e |
Diamètre : d |
8cm |
10cm |
14cm |
16cm |
20cm |
Longueur de ficelle mesurée : L |
25,17cm |
31,38cm |
44,1cm |
50,27cm |
62,8cm |
L / d |
3,14625 |
3,138 |
3,15 |
3,141875 |
3,14 |
J’observe que le
résultat de la division de la longueur de ficelle par la mesure du diamètre
reste très proche
de la valeur 3,14, ceci quel que soit
le cercle considéré.
Il ya donc proportionnalité entre la longueur de ficelle et la mesure du diamètre.
Le coefficient de proportionnalité est la valeur constante 3,14.
Ma seconde expérience
Je vais aux étagères
de la cuisine et je me procure de trois boîtes de conserve de diamètres
différents.
J’essaie de mesurer
ces trois diamètres et je les note dans un tableau semblable à celui que
j’ai construis lors de la première expérience.
Je refais la même
expérience, mais cette fois-ci la ficelle sera « scotchée » à la base de la
boîte
de conserve, de manière que sa position,
bien calée à la bordure
de cette base, épouse au mieux
la base circulaire.
Là également je dois
constater que la division de la longueur de ficelle par la mesure du diamètre
reste très proche
de la valeur 3,14, ceci quel que soit
la boîte de conserve considérée.
Je te laisse donc faire cette deuxième expérience.
Conclusion
Dans les deux
expériences, la longueur de ficelle ayant épousé
au mieux
la longueur du cercle,
je conclue que la division de la longueur d’un cercle
quelconque
par la mesure de son diamètre
est égale à une constante qui vaut 3,14.
La longueur du cercle est appelée périmètre de ce cercle.
Je dis également que
la division du périmètre d’un
cercle quelconque par la mesure de
son diamètre est égale à une constante qui vaut 3,14.
Cette constante, appelée coefficient de proportionnalité, est en réalité égale à :
3,1415926535897932384626433832795………
Elle sera notée par la lettre grecque π.
J’écris :
3,14 n’est donc qu’une approximation.
Lorsque cette valeur n’est pas donnée, on prendra 3,14 comme valeur de la constante.
2- Je découvre une formule
Si je note P le périmètre d’un cercle de diamètre ayant d comme mesure, alors je peux écrire :
D’où la machine :
La machine inverse donne donc :
Ceci donne
la formule qui permet de calculer le
périmètre P d’un cercle dont la diamètre a
pour mesure d, connue :
Puisque la mesure du diamètre est double de celle du rayon, on peut également écrire :
3- J’applique la formule
Remarque importante
1)
On me donne un cercle dont le rayon mesure 4cm. On me demande de calculer son périmètre.
Solution
Si j’appelle P son périmètre et R la mesure de son rayon, alors je sais que :
Donc, j’obtiens :
2)
Solution
Si j’appelle P son périmètre et d la mesure de son diamètre, alors je sais que :
Donc, j’obtiens :
3)
Solution
Si j’appelle P son périmètre et R la mesure de son rayon, alors je sais que :
J’obtiens ainsi la machine :
La machine inverse donne :
Ainsi,
J’obtiens finalement :
A toi de maintenant de t’entraîner pour la suite
4)
Complète le tableau suivant :
cercles |
a |
b |
c |
d |
e |
Diamètre |
2cm |
|
18cm |
6cm |
|
Périmètre |
|
38cm |
|
|
40,8cm |
5)
Complète le tableau suivant :
cercles |
a |
b |
c |
d |
e |
Rayon |
4m |
|
3,5m |
6m |
|
Périmètre |
|
40m |
|
|
80m |
Remarque sur l’utilisation de la calculatrice
Pour la calculatrice « Casio – Collège 2D », cette touche est :
1-
2-
Pour calculer le
périmètre P du cercle, la
mesure d de son diamètre étant donnée,
on fait comme suit :
3-
Pour calculer la mesure d du diamètre, le périmètre P étant donné, on fait :
Entraîne-toi avec :
logique, calcul numérique et géométrie
(groupe ciblé : cinquième)
1ère partie
Un bassin est vide et est muni de deux robinets
dont l'un l'alimente en eau à la vitesse de 0,5 litre par seconde et l'autre le
vidange à la vitesse 39 litres par minute.
A 8h j'ouvre simultanément les deux robinets.
A quelle heure sera-t-il plein ?
2ème partie
Un vase cylindrique possède 0,8 dm de rayon et 30 cm de hauteur.
Calcule son volume en dm3 , puis en litres (1 litre = 1 dm3 ).
Sachant qu'un verre d'eau contient 0,18 litre d'eau, combien dois-tu verser de verres pour remplir la vase ?
On prendra
3ème partie
Un barrière pleine en béton a la forme d'un
parallélépipède rectangle dont la base a pour dimensions
10 cm et 20 cm. La
hauteur de cette barrière est de 25 cm.
On pose sur sa partie supérieure un
demi-cylindre en béton, la face arrondie vers le haut.
Ce demi-cylindre a pour rayon 5 cm.
Calcule le volume de béton qui a été utilisé pour construire cette
barrière.
On prendra
Solutions
1ère partie
Jamais ce bassin sera rempli ! Devine pourquoi.
2ème partie
Je rappelle la formule qui me donne le volume d'un cylindre de rayon à la base R et de hauteur h :
Le volume
devant être exprimé en dm, je convertis la hauteur en dm :
30 cm = 3 dm.
Le volume
de ce cylindre, en appliquant la formule précitée est de :
(3,1416 x 0,82 x 3) dm3
= (3,1416 x 0,64 x 3) dm3 = 6,031872 dm3
Ce volume
vaut donc, au millième par excès, 6,032 dm3.
3ème partie
Je rappelle d'abord les formules qui seront utilisées dans cet exercice :
Volume d'un parallélépipède
rectangle de base l, L et de hauteur h : L x l x h
Volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur (ou génératrice) h :
Je calcule
le volume du parallélépipède qui vaut :
(20 x 10 x 25 ) cm3 = 5000
cm3
Ensuite je calcule le volume du demi-cylindre qui vaut :
Le volume total du béton utilisé dans la
construction de cette barrière sera donc :
(5000 + 785,4) cm3
= 5785,4 cm3
un peu de Thalès, de Pythagore et de trigonométrie
(groupe ciblé : quatrième)
1ère partie
On nous donne un segment
qui mesure 13 cm.
On nous demande de le partager par une construction
géométrique (avec la règle et
le compas uniquement) en 7parties égales.
Comment fait-on ?
2ème partie
Soit un triangle (MNP) tel
que |MN| = 13 cm, |MP| = 12 cm et |NP| = 5 cm.
Soit E le point de [MN] tel que |ME| = 6 cm.
Le cercle de diamètre [ME] coupe (MP) en F.
1- Construis la figure;
2- Démontre que (MNP) est un triangle rectangle;
3- démontre que (MFE) est
également un triangle rectangle, puis démontre que les
droites (FE) et (NP) sont parallèles;
4- Calcule |MF| et |EF|.
3ème partie
Dans une journée d'été
et vers 15h on constate que le point O de l'ombre d'un arbre géant,
représentant son
sommet, se situe à une distance de 5,50 mètres environ du pied (le sol est
supposé
à cet endroit horizontal, et l'arbre, vertical).
On a pu calculer l'angle
que fait l'axe de cette ombre avec la ligne qui joint O au sommet de cet
arbre
et on a trouvé 65°.
Comment fait-on pour déduire la hauteur approximative de cet arbre.
Solutions
Pour découvrir la solution, ouvre l'animation 10.
2ème
partie
1- Construction de la figure.
Nous devons d'abord vérifier que le triangle
(MNP) est bien constructible.
Pour s'y faire, nous montrons que les mesures géométriques des côtés vérifient l'inégalité triangulaire,
c'est-à-dire,
par exemple :
|MP| - |PN| < |MN| < |MP| + |PN|.
C'est bien le cas puisque 12 - 5 < 13 < 12 +5.
Cette vérification faite, traçons avec la
règle (graduée) le segment [MN] de mesure géométrique 13 cm.
Du point M et avec une ouverture de compas égale à 12 cm traçons un arc de
cercle (L1), puis du point N, avec une ouverture de compas égale à 5 cm traçons un arc de
cercle (L2).
L'intersection de (L1) et (L2) sera le troisième sommet P
de ce triangle.
2- Nous avons 132 = 169 = 122
+ 52 .
Autrement dit, MN2 = MP2 + PN2
.
Le triangle (MNP) vérifiant ainsi la réciproque du théorème de
Pythagore est un triangle rectangle en P.
3- L'angle au sommet F du triangle (MFE) est
inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ME].
De plus il intercepte ce diamètre.
En conséquence, il est droit et le triangle (MFE) est rectangle en F.
L'angle en F du triangle (MFE) étant droit, (EF)
est perpendiculaire à (MP).
L'angle en P du triangle (MNP) étant droit, (NP) est perpendiculaire à (MP).
Ainsi (EF) et (NP), du plan du triangle (MNP), étant perpendiculaires à une
même droite (MP), sont parallèles.
4- Dans le triangle (MNP), le segment [EF] est
parallèle au côté [NP].
D'après le théorème de Thalès, nous avons :
D'où nous tirons :
3ème
partie
Soit S le sommet de l'arbre et H représentant le centre de son tronc, au niveau de son pied.
Comme par hypothèse le sol est horizontal, et l'arbre, vertical, le triangle (OHS) est rectangle en H.
Nous avons donc le relation : |OH| = |OS| cos 65°.
D'après
le théorème de Pythagore, |OS|2 = |OH|2 + |HS|2
.
d'où en remplaçant dans la
seconde relation :
ce qui implique que
D'où finalement |HS| vaut environ 11,79 mètres.
droites,
application linéaire, application affine et système d'équations
(groupe ciblé : troisième)
Première
partie
(unité : cm)
1- Trouve une application affine h telle que h(1) = 2 et h(3) = -1;
2- Trouve une application constante t telle que t(1) = -5;
3-
Trouvons l'équation de la droite (d) passant par le point
A (2 ; -1) et parallèle à la droite
(d') d'équation 3x - y = 2.
Deuxième
partie
(unité : cm)
On donne dans ce repère deux points A (0 ; 4) et B (6 ; 0).
Calcule les coordonnées du milieu I de [AB].
Détermine l'équation de la droite (AB), puis celle de sa médiatrice (D).
Troisième
partie
Résous le système :
2x
+ y = 8
10x + 20y = 7
Quatrième
partie
1- Résous le système suivant où x et y sont les inconnues :
x2
+ 2x -3 = y
y = x + 3
Trouve
les équations des droites (AB), (BC) et (AC).
Calcule les coordonnées de l'orthocentre H du triangle (ABC), celles de son
centre de gravité G, ainsi que celles du centre M de son cercle circonscrit.
Que peux-tu en conclure ?
Solutions
Première
partie
1- Trouvons une application affine h telle que h(1) = 2 et h(3) = -1.
La forme générale de l'équation d'une application affine est y = h(x) = ax + b, avec a et b différents de 0.
Ainsi h(1) = a(1) + b = 2 et h(3) = a(3) + b = -1; d'où le système à résoudre :
a
+ b = 2
3a + b = -1
a
+ b = 2 donne b = 2 - a; en remplaçant dans la seconde équation b par son
égal 2 - a, on obtient :
L' application linéaire h sera donc :
2- Trouvons l'application constante t telle que t(1) = -5.
t
devant être une application constante, sa valeur t(x), pour tout nombre x,
devra être égale à -5;
donc l'application t est t(x) = -5.
3-
Trouvons l'équation de la droite (d) passant par le point
A (2 ; -1) et parallèle à la droite
(d') d'équation 3x - y = 2.
Le
coefficient directeur de (d') est 3 puisque son équation est
y = 3x - 2.
La forme générale de l'équation de (d) est y = ax + b.
Comme (d) devra être parallèle à (d'), son coefficient directeur a devra vérifier l'égalité 3 = a.
De
plus (d) devant passer par le point A, les coordonnées de ce point devront
vérifier
l'équation de (d), donc :
yA = 3xA + b.
D'où b = yA - 3xA = -1 - 3(2) = -7
L'équation de (d) sera finalement : y = 3x -7.
Deuxième
partie
Deux points A et B quelconques étant donnés dans le plan du repère, les formules générales donnant les coordonnées xM et yM du milieu M du segment [AB] sont les suivantes :
Dans le cas de notre exercice, nous avons donc :
Déterminons
l'équation de la droite (AB), puis celle de sa médiatrice (D).
La
forme générale de l'équation de (AB) étant y = ax + b, et comme les
coordonnées
de A et B doivent vérifier cette équation (puisque A et B appartiennent à
(AB)),
nous avons le système :
yA = axA + b
yB = axB + b
D'où
4
= 0a + b
0 = 6a = b
La
première équation donne directement b = 4 et en remplaçant la valeur 4 de b
dans la seconde équation, on obtient :
L'équation
de (AB) est donc :
(D) étant la médiatrice de (AB), elle doit
simultanément contenir le milieu I de [AB]
et être perpendiculaire
à (AB).
Donc si son équation est de la forme y = mx +n,
on doit avoir :
2
= 3m + n et la seconde équation donne directement la valeur de m
L'équation de (D) sera donc :
Troisième partie
Le système est :
2x
+ y = 8
10x + 20y = 7
La
première équation donne y = 8 - 2x, et en remplaçant dans la seconde y
par 8 - 2x on obtient :
10x + 20(8 - 2x) = 7; ce qui donne -30x = 7 - 160 = -153;
y = 8 - 2x = 8 - 2(5,1) = 8 - 10,2 = -2,2.
Quatrième
partie
1- Résolvons le système suivant où x et y sont les inconnues :
x2
+ 2x -3 = y
y = x + 3
La difficulté ici est de pouvoir factoriser l'expression x2 + 2x -3.
Supposons
x2 + 2x le début d'un carré de la forme (x + a)2 , donc
avec 2ax = 2x; ce qui donne a = 1
et donc x2 + 2x = (x + 1)2
- 1.
Dans
l'expression x2 + 2x -3 remplaçons x2 + 2x par son égal (x + 1)2
- 1; nous obtenons :
(x + 1)2 - 1 -3 qui vaut donc (x + 1)2 - 4 et qui peut
être factorisée puisqu'elle est la différence
de deux carrées.
x2 + 2x -3 = y devient donc (x + 1)2 - 4 = y ou encore (x
- 1)(x + 3) = y.
Le système devient :
(x
- 1)(x + 3) = y
y = x + 3
En
remplaçant dans la première équation y par x + 3, on obtient :
(x - 1)(x + 3) = x + 3.
Amenons tout au premier membre : (x - 1)(x + 3) - (x + 3) = 0.
Factorisons le premier membre : (x + 3)(x - 1- 1) = 0 ou encore (x + 3)(x - 2) = 0.
Pour
qu'un produit de deux facteurs soit nul il faut et il suffit que l'un au moins
des deux facteurs le soit.
Donc (x + 3)(x - 2) = 0 donne x + 3 = 0 ou x - 2 = 0.
Ainsi x = - 3 ou x = 2.
Pour
calculer y remplaçons dans y = x + 3, x par sa valeur trouvée.
Ainsi, pour x = - 3, y = - 3 + 3 = 0 ou pour x = 2, y = 2 + 3 = 5.
L'ensemble des solutions du système est donc {(- 3 ; 0) ; (2 ; 5)}.
Recommandations
Quatrième
partie - 2
La
seule difficulté dans cet exercice réside dans la conclusion quant au
positionnement des points G, H et M.
Après avoir calculé leurs coordonnées, il faudra trouver par exemple
l'équation de (GH) et d'en déduire la position de M par rapport à (GH).
Nous devons conclure que les trois points G, H, M sont alignés.