L'EXERCICE POUR 
LE COLLEGE
(page 1)


 

les thèmes abordés dans cette page

les pourcentages
(6ème)

Périmètre du cercle
(6ème)

la logique, les vitesses et le calcul du volume d'un solide
(5ème)

Thalès, Pythagore et trigonométrie
(4ème)

applications linéaire et affine; système d'équations
(3ème)

 




un peu d'arithmétique quotidienne
(groupe ciblé : sixième)

 

1ère partie

J'ai été livré d'une machine électroménagère dont le prix TTC est de 1200 €.

J'ai déjà versé 30 % à la commande.

Combien me reste- t-il à payer au fournisseur ?

 

2ème partie

Dans un pays, les prix ont augmenté de 300 % en un seule année.

Combien coûte aujourd'hui un objet qui valait 260 €  il y a un an ?

Ta montre valait l'année dernière 50 €. Combien aujourd'hui tu l'aurais payée dans ce pays ?

 

retour au début de la page

 

3ème partie

J'ai acheté 4 revues ayant le même prix et un quotidien qui vaut 1,50 €.

Je donne au libraire 20 € et il me rend 6,50 €.

Combien coûte une revue ?

 

retour au début de la page

 

Solutions

 

1ère partie

Je dois d'abord calculé les 30 % des 1200 €.

(1200 x 30) : 100 € = 360 €

Il me reste donc à payer :

1200 € - 360 € = 840 €



2ème partie


D'abord tu dois calculer l'augmentation subie par l'objet, c'est-à-dire :


En conclusion, cet objet coûte aujourd'hui (260 + 780) € = 1040 €.

L'augmentation subie par ma montre est de :



Donc je l'aurais payée aujourd'hui, dans ce pays, 
(50 + 150) € = 200 €


3ème partie

D'abord je dois calculé le coût total de mes achats : 

(20 - 6,50) € = 13,50 €

Ensuite, j'en déduis le coût du quotidien pour trouver celui des 4 revues :

13, 50 € - 1,50 € = 12 €

En conclusion, le prix d'une revue est de : 


retour au début de la page

 

 

Périmètre du cercle
(groupe ciblé : sixième)

 

1- Je découvre π

Je dois d’abord me munir :

-         d’un rouleau de ficelle

-         d’un rouleau de scotch

-         d’un compas

-         d’une règle graduée

-         d’un crayon

-         des ciseaux

 

 

Ma première expérience

Sur des feuilles de papier, à l’aide de mon compas, je trace cinq cercles a, b, c, d et e,
de rayons respectifs : 4cm, 5cm, 7cm, 8cm, 10cm (un cercle par feuille).

Sur une feuille indépendante, je construis un tableau à six colonnes et quatre lignes.
Je peux déjà remplir les deux premières lignes.

 

cercles

a

b

c

d

e

Diamètre : d

8cm

10cm

14cm

16cm

20cm

Longueur de ficelle mesurée : L

 

 

 

 

 

L / d

 

 

 

 

 

 

La troisième ligne correspond aux longueurs de ficelle que j’aurai à mesurer en fin d’expérience.

La quatrième ligne se remplira en faisant la division de L par d.

Pour chacun de ces cercles, je procède ensuite de la manière suivante :

Avec mon crayon, je repère un point quelconque sur le cercle.

Je « scotche » ensuite l’extrémité libre du rouleau de ficelle sur ce point.

Je continue à « scotcher » la ficelle à plusieurs endroits du cercle, en veillant à ce qu’elle
reste confondue avec lui
. Pour cela, l’avancement devra se faire à petits
intervalles.

Ayant fait le tour, ma ficelle devra atteindre le point que j’ai repéré au départ.

C’est à cet endroit que je dois la couper avec mes ciseaux.

La situation devra ressembler au schéma suivant :

 

 

Le point repéré au départ est nommé D sur le schéma.
Les petits rectangles représentent les petits morceaux de scotch qui maintiennent la ficelle
(tracée en rouge sur le schéma)
dans une position
la plus proche possible du cercle

 

Je récupère ensuite ce morceau de ficelle en le détachant du cercle.

 

A l’aide de ma règle graduée, je mesure la longueur de ce morceau et je la note, dans mon tableau,
en l’inscrivant à l’endroit correspondant au cercle avec lequel j’ai travaillé.

 

Ayant rempli mon tableau, j’obtiens le résultat suivant :

cercles

a

b

c

d

e

Diamètre : d

8cm

10cm

14cm

16cm

20cm

Longueur de ficelle mesurée : L

25,17cm

31,38cm

44,1cm

50,27cm

62,8cm

L / d

 

 

 

 

 

 

Je procède ensuite aux divisions successives de L par d et je remplis la dernière ligne du tableau
en y inscrivant les résultats de ces divisions.

cercles

a

b

c

d

e

Diamètre : d

8cm

10cm

14cm

16cm

20cm

Longueur de ficelle mesurée : L

25,17cm

31,38cm

44,1cm

50,27cm

62,8cm

L / d

3,14625

3,138

3,15

3,141875

3,14

 

J’observe que le résultat de la division de la longueur de ficelle par la mesure du diamètre
reste
très proche de la valeur 3,14, ceci quel que soit le cercle considéré.

Il ya donc proportionnalité entre la longueur de ficelle et la mesure du diamètre.

Le coefficient de proportionnalité est la valeur constante 3,14.

 

Ma seconde expérience

Je vais aux étagères de la cuisine et je me procure de trois boîtes de conserve de diamètres
différents.

J’essaie de mesurer ces trois diamètres et je les note dans un tableau semblable à celui que
j’ai construis lors de la première expérience.

Je refais la même expérience, mais cette fois-ci la ficelle sera « scotchée » à la base de la boîte
de conserve, de manière que sa position,
bien calée à la bordure de cette base, épouse au mieux
la base circulaire.

Là également je dois constater que la division de la longueur de ficelle par la mesure du diamètre
reste
très proche de la valeur 3,14, ceci quel que soit la boîte de conserve considérée.

 

Je te laisse donc faire cette deuxième expérience.

 

Conclusion

 

Dans les deux expériences, la longueur de ficelle ayant épousé au mieux la longueur du cercle,
je conclue que la division de la longueur d’un cercle
quelconque
par la mesure de son diamètre
est égale à une constante qui vaut 3,14.

 

La longueur du cercle est appelée périmètre de ce cercle.

Je dis également que la division du périmètre d’un cercle quelconque par la mesure de
son diamètre est égale à une constante qui vaut 3,14
.

Cette constante, appelée coefficient de proportionnalité, est en réalité égale à :

3,1415926535897932384626433832795………

Elle sera notée par la lettre grecque π.

J’écris :

3,14 n’est donc qu’une approximation.

Lorsque cette valeur n’est pas donnée, on prendra 3,14 comme valeur de la constante.

 

2- Je découvre une formule

Si je note P le périmètre d’un cercle de diamètre ayant d comme mesure, alors je peux écrire :

D’où la machine :

La machine inverse donne donc :

Ceci donne la formule qui permet de calculer le périmètre P d’un cercle dont la diamètre a
pour mesure d, connue
 :

Puisque la mesure du diamètre est double de celle du rayon, on peut également écrire :

 


3- J’applique la formule

 Remarque importante

1)

On me donne un cercle dont le rayon mesure 4cm. On me demande de calculer son périmètre.

Solution

Si j’appelle P son périmètre et R la mesure de son rayon, alors je sais que :

Donc, j’obtiens :

 

2)

Solution

Si j’appelle P son périmètre et d la mesure de son diamètre, alors je sais que :

Donc, j’obtiens :

 

3)

Solution

Si j’appelle P son périmètre et R la mesure de son rayon, alors je sais que :

J’obtiens ainsi la machine :

La machine inverse donne :

Ainsi,

J’obtiens finalement :

 

A toi de maintenant de t’entraîner pour la suite

4)

Complète le tableau suivant :

cercles

a

b

c

d

e

Diamètre 

2cm

 

18cm

6cm

 

Périmètre

 

38cm

 

 

40,8cm

 

5)

Complète le tableau suivant :

cercles

a

b

c

d

e

Rayon

4m

 

3,5m

6m

 

Périmètre

 

40m

 

 

80m

 

 

Remarque sur l’utilisation de la calculatrice

Pour la calculatrice « Casio – Collège 2D », cette touche est :

1-


2-

Pour calculer le périmètre P du cercle, la mesure d de son diamètre étant donnée,
on fait comme suit :


3-

Pour calculer la mesure d du diamètre, le périmètre P étant donné, on fait :

 

Entraîne-toi avec :

 


logique, calcul numérique et géométrie
(groupe ciblé : cinquième)


1ère partie

Un bassin est vide et est muni de deux robinets dont l'un l'alimente en eau à la vitesse de 0,5 litre par seconde et l'autre le vidange à la vitesse 39 litres par minute.

A 8h j'ouvre simultanément les deux robinets.

A quelle heure sera-t-il plein ?

 

retour au début de la page




2ème partie

Un vase cylindrique possède 0,8 dm de rayon et 30 cm de hauteur.

Calcule son volume en dm3 , puis en litres (1 litre = 1 dm3 ).

Sachant qu'un verre d'eau contient 0,18 litre d'eau, combien dois-tu verser de verres pour remplir la vase ?

On prendra

 

retour au début de la page


3ème partie

Un barrière pleine en béton a la forme d'un parallélépipède rectangle dont la base a pour dimensions
10 cm et 20 cm. La hauteur de cette barrière est de 25 cm.

On pose sur sa partie supérieure un demi-cylindre en béton, la face arrondie vers le haut.

Ce demi-cylindre a pour rayon 5 cm.

Calcule le volume de béton qui a été utilisé pour construire cette barrière.

On prendra


retour au début de la page

 

Solutions

 

1ère partie

Jamais ce bassin sera rempli ! Devine pourquoi.


2ème partie

Je rappelle la formule qui me donne le volume d'un cylindre de rayon à la base R et de hauteur h :



Le volume devant être exprimé en dm, je convertis la hauteur en dm : 

30 cm = 3 dm.

Le volume de ce cylindre, en appliquant la formule précitée est de :

(3,1416 x  0,82  x 3) dm3 = (3,1416 x 0,64 x 3) dm3 = 6,031872 dm3

Ce volume vaut donc, au millième par excès, 6,032 dm3.


3ème partie

Je rappelle d'abord les formules qui seront utilisées dans cet exercice :

Volume d'un parallélépipède rectangle de base l, L et de hauteur h : L x l x h

Volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur (ou génératrice) h : 



Je calcule le volume du parallélépipède qui vaut :

(20 x 10 x 25 ) cm3 = 5000 cm3

Ensuite je calcule le volume du demi-cylindre qui vaut :

Le volume total du béton utilisé dans la construction de cette barrière sera donc :

(5000 + 785,4) cm3 = 5785,4 cm3
 

 


retour au début de la page

 


un peu de Thalès, de Pythagore et de trigonométrie
(groupe ciblé : quatrième)

 

1ère partie

On nous donne un segment qui mesure 13 cm.

On nous demande de le partager par une construction géométrique (avec la règle et
le compas uniquement) en 7parties égales.

Comment fait-on ?

 

retour au début de la page



2ème partie 

Soit un triangle (MNP) tel que |MN| = 13 cm, |MP| = 12 cm et |NP| = 5 cm.

Soit E le point de [MN] tel que |ME| = 6 cm.

Le cercle de diamètre [ME] coupe (MP) en F.

1- Construis la figure;

2- Démontre que (MNP) est un triangle rectangle;

3- démontre que (MFE) est également un triangle rectangle, puis démontre que les 
droites (FE) et (NP) sont parallèles;

4- Calcule |MF| et |EF|.

 

retour au début de la page

 


3ème partie

Dans une journée d'été et vers 15h on constate que le point O de l'ombre d'un arbre géant,
représentant son sommet, se situe à une distance de 5,50 mètres environ du pied (le sol est supposé
à cet endroit horizontal, et l'arbre, vertical).

On a pu calculer l'angle que fait l'axe de cette ombre avec la ligne qui joint O au sommet de cet
arbre et on a trouvé 65°.

Comment fait-on pour déduire la hauteur approximative de cet arbre.

 

retour au début de la page

 

Solutions


1ère partie

Pour découvrir la solution, ouvre l'animation 10.


2ème partie

 

 

1- Construction de la figure.

Nous devons d'abord vérifier que le triangle (MNP) est bien constructible.

Pour s'y faire, nous montrons que les mesures géométriques des côtés vérifient l'inégalité triangulaire,
c'est-à-dire, par exemple :

|MP| - |PN| < |MN| < |MP| + |PN|.

C'est bien le cas puisque 12 - 5 < 13 < 12 +5.

Cette vérification faite, traçons avec la règle (graduée) le segment [MN] de mesure géométrique 13 cm.

Du point M et avec une ouverture de compas égale à 12 cm traçons un arc de cercle (L1), puis du point N, avec une ouverture de compas égale à 5 cm traçons un arc de cercle (L2).

L'intersection de (L1) et (L2) sera le troisième sommet P de ce triangle.

2- Nous avons 132 = 169 = 122 + 52

Autrement dit, MN2 = MP2 + PN2

Le triangle (MNP) vérifiant ainsi la réciproque du théorème de Pythagore est un triangle rectangle en P.

3- L'angle au sommet F du triangle (MFE) est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ME].

De plus il intercepte ce diamètre. 

En conséquence, il est droit et le triangle (MFE) est rectangle en F.

L'angle en F du triangle (MFE) étant droit, (EF) est perpendiculaire à (MP).

L'angle en P du triangle (MNP) étant droit, (NP) est perpendiculaire à (MP).

Ainsi (EF) et (NP), du plan du triangle (MNP), étant perpendiculaires à une même droite (MP), sont parallèles. 

4- Dans le triangle (MNP), le segment [EF] est parallèle au côté [NP].

D'après le théorème de Thalès, nous avons :

D'où nous tirons :

 

retour au début de la page



3ème partie

Soit S le sommet de l'arbre et H représentant le centre de son tronc, au niveau de son pied.

Comme par hypothèse le sol est horizontal, et l'arbre, vertical, le triangle (OHS) est rectangle en H.

Nous avons donc le relation : |OH| = |OS| cos 65°.

D'après le théorème de Pythagore, |OS|2 = |OH|2 + |HS|2 .

 

d'où en remplaçant dans la seconde relation :


ce qui implique que 

D'où finalement |HS| vaut environ 11,79 mètres.

 

retour au début de la page

 

droites, application linéaire, application affine et système d'équations
(groupe ciblé : troisième)


Première partie


(unité : cm)

1- Trouve une application affine h telle que h(1) = 2 et h(3) = -1;

2- Trouve une application constante t telle que t(1) = -5;

3- Trouvons l'équation de la droite (d) passant par le point 
A (2 ; -1) et parallèle à la droite (d') d'équation 3x - y = 2.

 

retour au début de la page



Deuxième partie

 
(unité : cm)

On donne dans ce repère deux points A (0 ; 4) et B (6 ; 0).

Calcule les coordonnées du milieu I de [AB].

Détermine l'équation de la droite (AB), puis celle de sa médiatrice (D).

 

retour au début de la page



Troisième partie

Résous le système :

2x + y = 8
10x + 20y = 7


Quatrième partie

1- Résous le système suivant où x et y sont les inconnues :

x2 + 2x -3 = y
y = x + 3 

Trouve les équations des droites (AB), (BC) et (AC).

Calcule les coordonnées de l'orthocentre H du triangle (ABC), celles de son centre de gravité G, ainsi que celles du  centre M de son cercle circonscrit. 

Que peux-tu en conclure ?

 

retour au début de la page

 

Solutions


Première partie

1- Trouvons une application affine h telle que h(1) = 2 et h(3) = -1.

La forme générale de l'équation d'une application affine est y = h(x) = ax + b, avec a et b différents de 0. 

Ainsi h(1) = a(1) + b = 2 et h(3) = a(3) + b = -1; d'où le système à résoudre :

a + b = 2
3a + b = -1

a + b = 2 donne b = 2 - a; en remplaçant dans la seconde équation b par son égal 2 - a, on obtient :


L' application linéaire h sera donc : 

 

2- Trouvons l'application constante t telle que t(1) = -5.

t devant être une application constante, sa valeur t(x), pour tout nombre x, devra être égale à -5;
donc l'application t est t(x) = -5.

3- Trouvons l'équation de la droite (d) passant par le point 
A (2 ; -1) et parallèle à la droite (d') d'équation 3x - y = 2. 

Le coefficient directeur de (d') est 3 puisque son équation est 
y = 3x - 2.

La forme générale de l'équation de (d) est y = ax + b.

Comme (d) devra être parallèle à (d'), son coefficient directeur a devra vérifier l'égalité 3 = a.

De plus (d) devant passer par le point A, les coordonnées de ce point devront vérifier
l'équation de (d), donc :

yA = 3xA + b.

D'où b = yA - 3xA = -1 - 3(2) = -7

L'équation de (d) sera finalement : y = 3x -7.

 

retour au début de la page



Deuxième partie

Deux points A et B quelconques étant donnés dans le  plan du repère, les formules générales donnant les coordonnées xM et yM du milieu M du segment [AB] sont les suivantes :

Dans le cas de notre exercice, nous avons donc :


Déterminons l'équation de la droite (AB), puis celle de sa médiatrice (D).

La forme générale de l'équation de (AB) étant y = ax + b, et comme les coordonnées 
de A et B doivent vérifier cette équation (puisque A et B appartiennent à (AB)), 
nous avons le système :

yA = axA + b

yB = axB + b

D'où

4 = 0a + b
0 = 6a = b

La première équation donne directement b = 4 et en remplaçant la valeur 4 de b dans la seconde équation, on obtient : 

L'équation de (AB) est donc :

(D) étant la médiatrice de (AB), elle doit simultanément contenir le milieu I de [AB] et être perpendiculaire
à (AB).

Donc si son équation est de la forme y = mx +n, on doit avoir :


2 = 3m + n et la seconde équation donne directement la valeur de m 

L'équation de (D) sera donc :

retour au début de la page

 

Troisième partie

Le système est :

2x + y = 8
10x + 20y = 7

La première équation donne  y = 8 - 2x, et en remplaçant dans la seconde y par 8 - 2x on obtient :

10x + 20(8 - 2x) = 7; ce qui donne -30x = 7 - 160 = -153; 

y = 8 - 2x = 8 - 2(5,1) = 8 - 10,2 = -2,2.


Quatrième partie

1- Résolvons le système suivant où x et y sont les inconnues :

x2 + 2x -3 = y
y = x + 3 

La difficulté ici est de pouvoir factoriser l'expression x2 + 2x -3.

Supposons x2 + 2x le début d'un carré de la forme (x + a)2 , donc avec 2ax = 2x; ce qui donne a = 1
et donc x2 + 2x = (x + 1)2 - 1.

Dans l'expression x2 + 2x -3 remplaçons x2 + 2x par son égal (x + 1)2 - 1; nous obtenons :
(x + 1)2 - 1 -3 qui vaut donc (x + 1)2 - 4 et qui peut être factorisée puisqu'elle est la différence
de deux carrées.

x2 + 2x -3 = y devient donc (x + 1)2 - 4 = y ou encore (x - 1)(x + 3) = y.

Le système devient :

(x - 1)(x + 3) = y
y = x + 3 

En remplaçant dans la première équation y par x + 3, on obtient :

(x - 1)(x + 3) = x + 3.

Amenons tout au premier membre : (x - 1)(x + 3) - (x + 3) = 0.

Factorisons le premier membre : (x + 3)(x - 1- 1) = 0 ou encore (x + 3)(x - 2) = 0.

Pour qu'un produit de deux facteurs soit nul il faut et il suffit que l'un au moins des deux facteurs le soit.

Donc (x + 3)(x - 2) = 0 donne x + 3 = 0 ou x - 2 = 0.

Ainsi x = - 3 ou x = 2.

Pour calculer y remplaçons dans y = x + 3, x par sa valeur trouvée.

Ainsi, pour x = - 3, y = - 3 + 3 = 0 ou pour x = 2, y = 2 + 3 = 5.

L'ensemble des solutions du système est donc {(- 3 ; 0) ; (2 ; 5)}.

 

retour au début de la page

 

Recommandations


Quatrième partie - 2

La seule difficulté dans cet exercice réside dans la conclusion quant au positionnement des points G, H et M.

Après avoir calculé leurs coordonnées, il faudra trouver par exemple l'équation de (GH) et d'en déduire la position de M par rapport à (GH).

Nous devons conclure que les trois points G, H, M sont alignés.

 

retour au début de la page

         
           page 2           page 3           page 4           page 5