L'EXERCICE
POUR
LE COLLEGE
(page 3)
les thèmes abordés dans cette page
divisibilité; temps et partage
(6ème)
machines et
chaînes - applications
(6ème)
fractions; échelle et repérage
(5ème)
construction
géométrique et isométrie
(3ème)
distance, vitesse et temps
(4ème)
divisibilité; temps et partage
(groupe ciblé : sixième)
Partie 1
a-
Donne les nombres entiers naturels divisibles par 5 et compris entre 231 et 262.
b-
Donne les nombres entiers naturels divisibles à la fois par 5 et par 9, compris entre 1207 et 1409.
Partie 2
Raoul, gagnant dans une course, est parti à 14 h
12 min 27 s et est arrivé à 16 h 28 min 19 s.
En combien de temps a-t-il parcouru le trajet de la course ?
Partie3
Raymond, Aurélien et Corinne achètent ensemble
une boîte de 12 cassettes audio pour un montant de 33 €.
Raymond en prend 5, Aurélien 3 et Corinne le reste.
Combien vont-il payer chacun ?
Solution
Partie 1
On sait qu'un entier naturel est divisible par 5
si son chiffre d'unités est 0 ou 5.
Ainsi les entiers compris entre 231 et 262 sont :
235; 240; 245; 250; 255; 260.
Partie 2
Il faudra effectuer la soustraction suivante :
16 h 28 min 19 s - 14 h 12 min 27s
Cependant on ne peut pas l'effectuer directement
car 27 s > 19 s; il faudra donc préalablement,
prendre 1 min des 28 min, la
convertir en secondes et ajouter le résultat à 19 s.
Ainsi la soustraction devient :
16 h 27 min 79 s - 14 h 12 min 27 s et le résultat est 2 h 15 min 52 s.
Partie 3
Construisons le tableau de proportionnalité.
On
a, en posant A, B et C les prix que payent
respectivement Raymond, Aurélien et Corinne :
D'après ce tableau on obtient par la règle de proportionnalité :
machines
et chaînes - applications
(groupe ciblé : sixième)
1- Définitions
On appelle
machine un objet mathématique composé d’une
entrée notée ci-dessous
par la lettre
E, d’un élément appelé
opérateur (ici une flèche surmontée de l’opération « ajouter 3 ») qui,
en opérant sur l’entrée, donne comme résultat, la
sortie notée S :
Exemples :
Soit une machine M dont
l’opérateur est « ajouter n », n étant un nombre
quelconque.
On appelle machine
opposée à M, notée M’, la machine dont
l’opérateur est
« retrancher n » ou « soustraire n ».
De même, Soit une machine P dont
l’opérateur est « retrancher k », k étant
un
nombre quelconque.
On appelle machine
opposée à P, notée P’, la machine dont
l’opérateur est
« ajouter k ».
On dira que M et M’ sont deux
machines opposées.
Il en est de même pour P et
P’.
Exemples :
La machine :
a pour machine opposée :
La machine :
a pour machine opposée :
Soit une machine M dont
l’opérateur est « multiplier par n », n étant un
nombre
quelconque différent de zéro.
On appelle machine
inverse de M, notée M’, la machine dont
l’opérateur est
« diviser par n ».
De même, Soit une machine P dont
l’opérateur est « diviser par k »,
k étant un
nombre quelconque différent de zéro.
On appelle machine
inverse de P, notée P’, la machine dont
l’opérateur est
« multiplier par k ».
On dira que M et M’ sont deux
machines inverses.
Il en est de même pour P et
P’.
Exemples :
La machine :
a pour machine inverse :
La machine :
a pour machine inverse :
La machine :
n’a pas de sens en Mathématiques.
On appelle
chaîne une suite quelconque et finie de machines,
la sortie de l’une,
intermédiaire, quelconque, étant l’entrée de celle qui la suit immédiatement.
Exemples :
2- Extension aux fractions
Les notions de machine et de chaîne peuvent s’appliquer aux fractions.
Exemple :
La machine de la forme :
est équivalente à une quelconque des deux chaînes suivantes :
Exemple d’application :
Complète :
Solution :
La machine donnée est équivalente à la chaîne suivante :
On complète alors cette chaîne et on obtient :
Conclusion :
3- Applications
1ère application : Recherche des inconnus
Connaissant l’entrée et l’opérateur, comment trouver la sortie ?
Exemple :
Complète :
Solution :
Connaissant la sortie et
l’opérateur, comment trouver l’entrée ?
Exemple :
Complète :
Solution :
La machine inverse est :
Donc, on obtient :
Ainsi on a :
2ème application : Comprendre les fractions
Exemple :
Complète :
Solution :
On écrit cette égalité sous forme d’une machine ; on obtient :
La machine inverse est :
On obtient ainsi :
Conclusion :
3ème application : Calculer la
fraction d’une quantité donnée
Exemple :
Calcule les deux tiers d’un récipient contenant 15 litres de lait.
Solution :
On traduit l’énoncé en langage machine.
15 litres étant l’entrée, on obtient :
Or cette machine est équivalente à la chaîne suivante :
On complète cette chaîne et on obtient :
Conclusion :
Les deux tiers du récipient valent 10 litres.
Une autre méthode
La machine est aussi équivalente à la chaîne suivante :
On complète cette chaîne et on obtient :
On obtient le même résultat :
Les deux tiers du récipient valent 10 litres.
4- Exercices
On ajoute 2 à un
nombre, puis on multiplie le résultat obtenu par 5 ; on obtient
finalement 45. On demande de trouver ce nombre.
Solution
Soit E le nombre à trouver.
On traduit l’énoncé en langage machine – chaîne ; on obtient :
En prenant les inverse et opposée des machines de cette chaîne, on peut écrire :
En complétant cette dernière, on obtient :
Conclusion :
Le nombre est donc 7.
Complète :
Solution
La machine :
est équivalente à la chaîne suivante :
Conclusion :
La machine :
est équivalente à la chaîne suivante :
Conclusion :
La machine :
a pour inverse la machine suivante :
Cette dernière machine est équivalente à la chaîne suivante :
En prenant les inverses des machines de cette chaîne, on peut écrire :
Conclusion :
Complète :
Solution
La machine inverse de cette dernière est donc :
Conclusion :
La machine inverse de cette dernière est donc :
Conclusion :
La machine inverse de cette dernière est donc :
Conclusion :
La machine inverse de cette dernière est :
Cette dernière est équivalente à l’écriture :
L’inverse de cette dernière machine donne :
Conclusion :
Complète :
Solution
Cette dernière machine est équivalente à la chaîne suivante :
Conclusion :
Cette dernière machine est équivalente à la chaîne suivante :
Conclusion :
Cette dernière écriture se traduit en langage machine par :
La machine inverse de cette dernière donne :
Conclusion :
L’inverse de cette dernière machine donne :
Cette machine se traduit en écriture par :
Cette dernière écriture se traduit en langage machine par :
L’inverse de cette dernière machine donne :
Conclusion :
Calcule les deux tiers de la moitié
de 9.
Solution
L’énoncé se traduit par la chaîne suivante :
Cette chaîne est équivalente à la suivante :
Les deux tiers de la moitié de 9 valent 3.
Le quart du tiers d’un nombre vaut 1.
Quel est ce nombre ?
Solution
A étant ce nombre à chercher, l’énoncé se traduit par la chaîne suivante :
Cette chaîne est équivalente à la suivante :
En prenant les inverses des machines qui composent cette dernière chaîne, on obtient :
Le nombre est donc 12.
fractions; échelle et repérage
(groupe ciblé : cinquième)
Partie 1
calculer a, b, c et d sachant que :
Solution
Avant de procéder au calcul il faudra simplifier s’il y a lieu.
Partie 2
1)
La longueur d'une parcelle de terrain est 12,80 mètres. Sur un plan, elle est
représentée par une
longueur de 32 cm.
Quelle est l'échelle de ce plan ?
Solution
2)
Solution
1
cm sur la carte représente 5000000 cm = 50 km sur le terrain ; les 20,40
cm sur la carte
représenteront donc :
3)
Solution
2000000
cm = 20 km sur le terrain représentent 1 cm sur la carte ; donc 760 km sur
le terrain
représenteront sur la carte :
4)
La largeur horizontale d'une emprise d'une rue est de 6 mètres de chaussée et
de 1,80 mètres de
largeur de trottoir, de part et d'autre de la chaussée.
Quelle est la largeur réduite sur le plan de l'ingénieur responsable d'un
projet d'élargissement de la rue, sachant que l'échelle de ce plan est 1/500 ?
Le trottoir sera élargi de 0,50 mètre; quel est l'élargissement qui sera
indiqué par AutoCad*.
NB : AutoCad est un logiciel permettant à
l'ingénieur de saisir graphiquement un projet de construction
d'une rue ou
d'une route et de préparer son dossier en vue de la réalisation de ce projet.
Solution
On
a une chaussée de 6 m de large et deux trottoirs de 1,80 m de large, chacun ;
donc l’emprise totale
est :
6 + 2 x 1,80 m = 9,60m.
500 cm = 5 m sur le terrain représentent 1 cm sur le plan ; 9,60 m représenteront
donc sur le plan :
Le
trottoir sera élargi de 0,5 m ; donc en tout 2 x 0,5 m = 1m (car on a deux
trottoirs).
5 m sur le terrain représentent 1 cm sur le plan ; donc 1 m sur le terrain
représentera sur le plan :
Partie 3
Sur un axe (x'x) gradué en centimètre, orienté
et d'origine O, on place les points A, B, C et D
d'abscisses respectives +1, -3,
-2 et +4.
1)
calcule les distances AC et BD.
2)
Sachant que M et N sont respectivement les milieux des segments [AC] et [BD],
calcule les abscisses xM et xN de M et N.
Calcule la distance MN.
Solution
Rappel de cours :
1)
2)
M étant milieu de [AC], on a :
N étant milieu de [BD], on a :
construction
géométrique et isométrie
(groupe
ciblé : troisième)
On considère un triangle (ABC) isocèle en A dans lequel la médiatrice
du côté [AC] coupe la
droite (BC) en un point D extérieur à [BC].
Soit E le point de la demi-droite [DA)
tel que E n’appartient pas au segment [DA] et AE=BD.
1- Quelle est la condition que doit
satisfaire le triangle (ABC) pour que la figure soit possible ;
construis-la.
2- Montre que les triangles (ABD) et (CAE)
sont isométriques.
3- Quelle est la nature du triangle (DCE).
Solution
1-
Construction
de la figure.
Si la mesure a de l’angle au sommet A vaut 60°,
alors le triangle isocèle (ABC) devient équilatéral et
la médiatrice (d) de [AC] est à la fois hauteur et
bissectrice ; et dans ce cas , (d) passe par B et ainsi B et D sont
confondus.
Ceci ne correspond pas à l’hypothèse de l’énoncé qui dit que le point D
doit être à l’extérieur du côté [BC].
Étudions le cas où a < 60°
Montrons alors que le point D ne peut appartenir à [BC].
Supposons le contraire, c’est-à-dire que D appartient à [BC] ; et soit la figure correspondante ci-dessous :
On sait que dans un triangle, des deux côtés quelconques, celui qui a la mesure géométrique la plus grande est le côté opposé à l’angle dont la mesure est la plus grande.
Conclusion : D n’appartient pas à [BC], c’est-à-dire que D est à l’extérieur du segment [BC].
Le cas où a > 60° implique que D appartient au segment [BC].
Pour construire la figure selon les hypothèses de l’énoncé, c’est-à-dire le point D à l’extérieur du côté [BC], il suffit donc de prendre un angle au sommet A de mesure a telle que 0° < a < 60°.
La figure correspondante à ce cas est la suivante :
2- Démonstration
que les triangles (ABD) et (AEC) sont isométriques.
les triangles (ABD) et (EAC) sont isométriques
car ils ont un angle isométrique compris entre deux côtés
respectivement isométriques.
3- Nature du triangle
(DCE)
Les triangles (ABD) et (EAC) étant isométriques,
les angles en D
et E respectivement opposés aux côtés isométriques [AB] et [AC], sont
isométriques et par conséquent le triangle (DCE) est isocèle
car il a deux de ses angles isométriques.
distance, vitesse et temps
(groupe ciblé : quatrième)
Deux villes A et B sont sur un axe
droit, distantes de 850 km.
Un voiture M part de A vers B à la vitesse constante de 80 km/h et une autre
voiture N part au même instant de B vers A à la vitesse de 90 km/h. le départ
simultanée a lieu à 8h.
On te demande de calculer l'instant auquel ces deux voitures vont se croiser et
à quelle distance de A ce croisement aura lieu.
Solution
Orientons la droite (AB) avec le
sens positif de A vers B. Considérons A l'origine de cet axe.
Posons x la distance qui sépare la ville A du point de croisement de ces deux
véhicules et t l'instant
auquel ce croisement a lieu.
L'équation horaire du véhicule M
est donc :
L'équation horaire du véhicule N
est :
Les deux véhicules M et N se croiseront à 13 heures.
M et N se croiseront donc à 400 km de la ville A.