L'EXERCICE
POUR
LA TERMINALE L
(page 3)
le thème abordé dans cette page
variation d’une fonction numérique ; parité et résolution graphique d’une inéquation
variation d’une fonction numérique ; parité et résolution graphique d’une inéquation
1)
a-
En admettant que f est dérivable sur I, démontrer
que, pour tout réel x appartenant à I, la fonction dérivée f’ de f est définie
par :
Etudier selon les valeurs de x le signe de
cette dérivée.
b-
Donner le tableau de variation de f et
construire la courbe (C) représentative de f sur I. (On prendra un repère
orthogonal d’unités de longueur égales à 1cm pour l’axe des abscisses et
2 cm pour l’axe des ordonnées)
c-
Montrer que f est paire. Comment cette propriété
se traduit-elle sur la représentation graphique de f ?
2)
a-
On donne d et d’ les deux tangentes à
(C) respectivement aux points M et N de (C) d’abscisses respectives
–3 et +3.
Trouver les équations de d et de d’ ;
calculer les coordonnées de l’intersection H de d et d’. Que peut-on
conclure pour H ?
b-
d et d’ recoupent (C) aux points P et Q.
Sans calculer les coordonnées de P et Q, que
peut-on conclure au sujet de la droite (PQ) ?
3)
Solution
1)
a-
En admettant que f est dérivable sur I, on a,
pour tout réel x appartenant à I :
Le dénominateur de la fonction dérivée étant
strictement positif pour tout réel x appartenant à I, le signe de la dérivée
dépend de celui de son numérateur : 4x.
Ainsi :
b-
D’après l’étude du signe de la dérivée,
f est strictement décroissante sur [-3 ;0[ et strictement croissante sur
]0 ;3] ; elle admet un minimum absolu f(0) = -1sur I.
Par ailleurs, la dérivée seconde permet de
conclure sur l’existence ou non des points d’inflexion ; c’est-à-dire
des points de la courbe représentative de f de part et d’autre desquels le
sens de variation de la pente de la tangente à la courbe change. On a :
Ainsi le signe de la dérivée seconde dépend
de celui de 1 – 3x2 .
On a donc :
Ainsi, la fonction f admet deux points
d’inflexion F et G d’abscisses :
Les ordonnées respectives de F et G
s’obtiennent en remplaçant dans l’expression de f, x par xF puis
x par xG
Le tableau de variation de f s’obtient en
prenant quelques valeurs particulières de la variable x.
On prendra la valeur de x pour laquelle f est
minimum : x = 0 ; puis les valeurs :
Enfin les valeurs –1 et 1 qui sont racines
de l’équation f(x) = 0
D’où le tableau :
et la courbe (C) :
c-
Montrons que f est une fonction paire.
f est paire sur I si et seulement si pour tout
réel x appartenant à I,
f(x) = f(-x)
On a, pour tout réel x appartenant à I :
La courbe (C) possède donc dans le plan du
repère un axe de symétrie qui est l’axe des ordonnées.
2)
a-
On donne d et d’ les deux tangentes à
(C) respectivement aux points M et N
de (C) d’abscisses respectives –3 et +3.
L’équation de d est de la forme :
L’équation de d’ est de la forme :
H étant l’intersection de d et d’, ses
coordonnés doivent vérifier l’équation aux abscisses et on a :
b-
d et d’ recoupent (C) aux points P et Q.
La symétrie axiale d’axe l’axe des ordonnées
donne les résultats suivants :
d et d’ sont symétriques ; les deux
branches de (C) de part et d’autre de cet axe de symétrie sont symétriques ;
le point H appartient à cet axe
Donc, P et Q sont symétriques et la droite
(PQ) est perpendiculaire à l’axe des ordonnées.
3)
