L'EXERCICE
POUR
LA TERMINALE L
(page 4)
les thèmes abordés dans cette page
Dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité de tirer une carte rouge et représentant une figure ?
On suppose l’équiprobabilité. Une figure est un valet ou une dame ou un roi ou un as.
Solution
Soient les deux évènements R : « la carte est rouge » et I : « la carte est image ».
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 26 cartes rouges et 16 cartes images.
1-
a-
Etudier f et établir son tableau de
variation. Construire sa courbe représentative (C).
b-
Montrer que f(x) = 0 admet dans
l’intervalle de définition de f une unique solution que l’on notera a.
Donner un encadrement d’amplitude 10-3 de a.
2-
b-
Le tableau qui suit représente les variations d’une fonction particulière :
En utilisant les données de ce tableau déterminer les valeurs m et n qui caractérisent cette fonction.
Montrer que dans l'intervalle [-0,5;-0,01] l'équation f(x) = 0 admet une unique solution.
solution
1-
a-
De plus f est continue sur son domaine de définition.
Par conséquent la fonction f est strictement croissante sur son domaine de définition.
Dressons le tableau de variation de f :
Représentons dans le repère la courbe (C) représentative de f, on obtient :
b-
f est continue et strictement croissante sur son domaine de définition ; donc elle l’est également sur l’intervalle [1 ;2].
Comme f(1).f(2) < 0, alors il existe un réel a et un seul appartenant à [1 ;2] tel que f(a) = 0.
Donnons un encadrement d’amplitude 10-3 de a.
Nous allons utiliser ici la méthode par « dichotomie » connue également sous le nom de méthode de « Babylone ».
On sait déjà que f(1).f(2) < 0 ; donc 1 < a < 2
On affine l’encadrement de a jusqu’à l’amplitude 10-3
On choisit le milieu de l’intervalle [1 ;2] qui est 1,5 et on considère l’intervalle [1 ;1,5].
On choisit le milieu de l’intervalle [1,5 ;2] qui est 1,75 et on considère l’intervalle [1,75 ;2].
Donc f(1,75).f(2) < 0 et ainsi 1,75 < a < 2
On choisit le milieu de l’intervalle [1,75 ;2] qui est 1,875et on considère l’intervalle [1,875 ;2].
Comme f(1,75) < 0 et f(1,875) > 0, alors f(1,75).f(1,875) < 0
Et on a 1,75 < a < 1,875
Donc on choisit le milieu de l’intervalle [1,75 ;1,875] qui est 1,8125et on considère l’intervalle [1,75 ;1,8125].
Comme f(1,75) < 0 et f(1,8125) > 0, alors f(1,75).f(1,8125) < 0
Et on a 1,75 < a < 1,8125
On choisit le milieu de l’intervalle
[1,75 ;1,8125] qui est 1,78125 et on considère l’intervalle [1,75 ;1,78125].
Comme f(1,75) < 0 et f(1,78125) > 0, alors f(1,75).f(1,78125) < 0
Et on a 1,75 < a < 1,78125
On choisit le milieu de l’intervalle
[1,75 ;1,78125] qui est 1,765625 et on considère l’intervalle
[1,75 ;1,765625].
Comme f(1,75) < 0 et f(1,765625) > 0, alors f(1,75).f(1,765625) < 0
Et on a 1,75 < a < 1,765625
On choisit le milieu de l’intervalle [1,75 ;1,765625] qui est 1,7578125et on considère l’intervalle
[1,75 ;1,7578125].
Cette fois-ci f(1,75).f(1,7578125) > 0
Donc il y a lieu de modifier l’extrémité 1,75 de [1,75 ;1,765625] en prenant 1,76 et en calculant f(1,76).
Alors f(1,76).f(1,765625) < 0 et on a 1,76 < a < 1,765625
A partir de là on utilisera la méthode de « balayage » en faisant varier la variable x à partir de 1,76 et par pas de 0 ,001.
Ainsi x balayera les valeurs 1,761 ;
1,762 ;1,763 ;…et ainsi de suite ; on arrêtera dès qu’on
obtient f(x) > 0.
f(1,765625) > 0 et f(1,761) < 0 ; donc 1,761 < a < 1,765625
f(1,765625) > 0 et f(1,762) < 0 ;
donc 1,762 < a < 1,765625
f(1,765625) > 0 et f(1,763) < 0 ; donc 1,763 < a < 1,765625
f(1,764) > 0 et f(1,763) < 0 ; donc 1,763 < a < 1,764
Finalement un encadrement d’amplitude 10-3 de a est :
1,763 < a < 1,764
2-
f’ est dérivable sur son domaine de définition et on a :
b-
D’après le tableau de variation de f, donné, f admet un maximum au point
(-0,5 ; 2). Donc on doit avoir f’(-0,5) = 0 et f(-0,5) = 2
Ceci donne :
La fonction f est donc :
D’après le tableau de variation de f, f est continue
et strictement décroissante sur
Donc finalement il existe dans l’intervalle [-0,5 ;-0,01] un réel x0 , unique tel que f(x0) = 0.
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