L'EXERCICE POUR LA SECONDE ET LA PREMIERE S
(page 2)

les thèmes abordés dans cette page

barycentre d’un système ; variation d’une fonction numérique composée
(1ère S)

encadrement d'une racine d'une équation
(2de)

barycentre d’un système ; variation d’une fonction numérique composée
(groupe ciblé : première S)

Partie 1

(ABC) est un triangle du plan (P).
A' B' et C' sont milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].
Le point D est défini par l'égalité vectorielle :

Montrer que les droites (AA') (B'C') et (CD) sont concourantes.

Partie 2

On donne la fonction numérique f définie sur l’intervalle [-2 ;2] par :

On demande d’écrire l’expression de f sous la forme :

Etudier la variation de f.

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Solution

Partie 1

Pour le système {A(2) ; B(1) ; C(1)}, D est barycentre de
{A(2) ; B(1)},

et G est barycentre de { D(3) ; C(1)} et ainsi G appartient à (CD).

On a donc :

Mais aussi,

Donc dans le triangle (DBC), (C’G) est parallèle à (BC) ; ce qui implique que G appartient à (C’B’).

Par ailleurs G est barycentre de {A(2) ; B(1) ; C(1)}, puisque D est barycentre de { A(2) ; B(1)} et G est barycentre de { D(3) ; C(1)}.

Comme A’ est barycentre de { B(1) ; C(1)}, G est barycentre de
{ A’(2) ; A(2)} et ainsi on a :

D’où G appartient également à (AA’).

Conclusion :

G appartient à (CD) ; G appartient à (C’B’) et G appartient à (AA’) ; donc (CD), (C’B’) et (AA’) sont concourantes et leur point d’intersection est le barycentre G du système {A(2) ; B(1) ; C(1)}.

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Partie 2

Considérons les fonctions numériques suivantes :

Comme la fonction u n’est pas monotone sur [-2 ;2], on doit étudier la monotonie de f sur [-2 ;0] puis sur ]0 ;2].

D’où le tableau de variation de f :

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droites et plans orthogonaux
(groupe ciblé : seconde)

Dans un plan (P), on considère un cercle C de diamètre [AB]. Soit (D) la droite passant par A orthogonale à (P) et S un point de (D) distinct de A.

On note I le projeté orthogonal de A sur la droite (BS). Pour tout point M du cercle C, distinct de A et de B, on note H le projeté orthogonal de A sur la droite (MS).

1) Montrer que la droite (MB) est orthogonale au plan (AMS).

2) En déduire que la droite (AH) est orthogonale au plan (BMS).

Solution

M appartient au cercle C, [AB] est un diamètre de C, le secteur angulaire de sommet M et de côtés [MA) et [MB) est inscrit dans C et intercepte [AB] ; donc ce secteur est droit et ainsi (MB) est perpendiculaire à (MA).

(AS) est incluse dans (D). (D) étant orthogonale à (P), est orthogonale à toute droite incluse dans (P) et en particulier (D) est orthogonale à (MB).

Ainsi (AS) est orthogonale à (MB).

On sait qu’une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites concourantes de ce plan.

Comme (MB) est orthogonale à (MA) et (AS), deux droites concourantes du plan (AMS), alors (MB) est orthogonale au plan (AMS).

(MB) étant orthogonale au plan (AMS), est orthogonale à toute droite incluse dans ce plan et en particulier à (AH).

Mais H étant le projeté orthogonal de A sur la droite (MS), on a (AH) orthogonale à (SM).

Ainsi, la droite (AH) étant orthogonale aux deux droites concourantes (MB) et (MS) du plan (BMS), est orthogonale à ce plan.

encadrement d'une racine d'une équation
(groupe ciblé : seconde)

1- Encadrement d’un réel

Soit un intervalle réel quelconque [a , b].

Pour tout réel x appartenant à [a , b], on a :

2- Encadrement d’une racine d’une équation

Soit une fonction numérique f définie et strictement croissante sur l’intervalle fermé [a , b].

Soit (C) sa courbe représentative dans un repère quelconque.

m étant un réel quelconque, on suppose que la droite (d) d’équation y = m rencontre (C)
en un point A d’abscisse x₀.

On sait que cette abscisse, appartenant au domaine de définition de f, c’est-à-dire appartenant à [a , b],
est racine de l’équation :

f(x) = m

Conclusion

Peut-on établir la réciproque ?

On a par hypothèse :

On suppose que l’on a :

On démontre que l’une ou l’autre de ces suites d’inégalités est contradictoire avec l’hypothèse :

En effet, d’après le théorème direct démontré plus haut, on a :

Ce qui est donc en contradiction avec l’hypothèse.

Conclusion

Remarque

Les démonstrations et les propriétés obtenues ci-dessus sont encore valables dans le cas où f est une fonction numérique définie et strictement décroissante sur [a , b].

La seule différence est l’inversion de l’ordre, au passage aux images par f des valeurs prises dans [a , b].

Cas particulier où m = 0

Dans ce cas on a supposé donc que la droite (d) d’équation y = 0 rencontre (C) en un
point A d’abscisse x₀.

(d) n’est autre que l’axe des abscisse.

La condition nécessaire et suffisante devient :

Remarque importante

Dans tout ce qui précède, on a émis l’hypothèse de départ que la droite (d) rencontre la courbe représentative de la fonction numérique f en un point d’abscisse x₀.

3- Applications

1^ère application

Soit f la fonction numérique définie comme suit :