L'EXERCICE POUR LA SECONDE ET LA PREMIERE S (page 6)

L'EXERCICE POUR LA SECONDE ET LA PREMIERE S
(page 6)

les thèmes abordés dans cette page

existence des racines d'une équation
(2de)

étude d'une fonction dont l'expression comporte
la valeur absolue d'un terme
(1ère S)

projections sur un plan et lieux géométriques
(1ère S)

existence des racines d'une équation
(groupe ciblé : seconde)

On donne la fonction g définie par :

En étudiant la continuité, la monotonie et les variations de g respectivement dans les intervalles suivants :

Rappel d’une propriété fondamentale : si une fonction f est définie et continue sur un intervalle [a ; b], strictement croissante (ou strictement décroissante) sur l’intervalle ]a ; b[ et si f(a).f(b) est strictement négatif, alors il existe un réel x₀et un seul appartenant à [a ; b], tel que f(x₀) est nulle ; autrement dit l’équation f(x) = 0 admet une racine et une seule.

Géométriquement, si dans un repère, C est la courbe représentative de f définie et continue sur l’intervalle [a ; b] et si de plus f vérifie la propriété précitée, alors C coupe l’axe des abscisses en un point et un seul appartenant à [a ; b].

Solution

Conclusion générale :

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étude d'une fonction dont l'expression comporte
la valeur absolue d'un terme
(groupe ciblé : première S)

On donne la fonction f définie par :

Quel est le domaine de définition de f ?

Étudie la continuité et les variations de f. Construis sa courbe représentative (D).

(On prendra un repère orthonormal)

Solution

f est définie sur R ; donc dom(f) = R.

Conclusion :

Calculons la dérivée de f. On a :

D’où le tableau des variations de f suivi de sa représentation graphique (D) dans un repère orthonormal :

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projections sur un plan et lieux géométriques
(groupe ciblé : première S)

On considère deux axes orthogonaux X’X et Y’Y, leur perpendiculaire commune [AB], A appartenant à X’X et B appartenant à Y’Y.

Soit I le milieu de [MN]. On désigne par I’ et N’ les projetés orthogonaux
respectifs de I et de N sur le plan P déterminé par X’X et u’u, la parallèle à Y’Y menée de A.

a- Calcule MN en fonction de a, x et y.

c- Trouve l’ensemble des points I’ et déduire celui de I dans chacun des cas suivants :

Solution

N’ étant le projeté orthogonal de N sur le plan P formé par u’u et X’X, alors (NN’) est orthogonal à ce plan, donc orthogonal à toute droite de ce plan et en particulier à (MN’).
Ainsi le triangle (MNN’) est rectangle en N’ et le théorème de Pythagore donne :

(AB) étant la perpendiculaire commune à X’X et Y’Y, est donc orthogonale au plan P.

(AB) et (NN’) étant orthogonales au plan P, sont parallèles.
Par construction, u’u est parallèle à Y’Y ; donc (AN’) est parallèle à (BN).
Ainsi le quadrilatère (ABNN’) ayant ses côtés deux à deux parallèles est un parallélogramme et on a AB = NN’ = a et N’A = BN = y

X’X et Y’Y étant orthogonales et u’u étant parallèle à Y’Y, alors u’u est orthogonale à X’X. Ainsi dans le plan P, le triangle (AMN’) est rectangle en A et le théorème de Pythagore donne :

Remplaçons dans l’égalité (1) MN’²et NN’²par leurs égales x²+ y²et a²; on obtient donc :

I’ étant le projeté orthogonal de I sur P, alors (I’I) est orthogonale à P, donc à toute droite de P et en particulier à (MN’).
Ainsi dans le triangle rectangle (MNN’), (I’I) et (NN’) sont parallèles ; de plus, comme I est milieu de [MN], alors I’ est milieu de [MN’].
Donc dans ce triangle, [I’I] joignant les milieux des deux côtés [MN] et [MN’] a pour mesure géométrique la moitié de celle du troisième côté [NN’].

P’ est donc parallèle à P.

(AB) étant orthogonale à P, alors elle est orthogonale à P’. Ainsi le plan P’ orthogonal à (AB) fixe et passant par son milieu R, est fixe. P’ est donc le plan médiateur du segment fixe [AB].
Soient S et Q ses intersections respectives avec (N’N) et la droite orthogonale à P menée de M.

Ainsi le triangle rectangle (AMN’) est également isocèle.
La médiane (AI’) est également bissectrice de l’angle au sommet fixe A et de côtés fixes [Au et [AX.
Donc l’ensemble des points I’ inclus dans le plan fixe P est la droite (AI’) support de cette bissectrice fixe.

Notons que d doit être supérieure à a.

Dans le triangle rectangle (AMN’), la mesure géométrique de la médiane relative à l’hypoténuse [MN’] est égale à la moitié de celle de cette dernière.

Ainsi dans le plan fixe P,

3)
Dans la plan fixe P, on a :

Considérons le repère (X’X ; u’u) qu’on oriente.

Dans ce repère projetons orthogonalement I’ sur X’X et sur u’u ; comme I’ est milieu de [MN’], on a :