Pour tout entier naturel n, on désigne par Mn le point du cercle (C) de
L'EXERCICE POUR LA TERMINALE S
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les thèmes abordés dans cette page
nombres complexes, géométrie et probabilités
plan complexe, rotation et arithmétique
nombres complexes, géométrie et probabilités
Pour tout entier naturel n, on désigne par Mn
le point du cercle (C) de
1- Place les douze points M0 , M1 , M2 , ..., M11
2- On appelle zn l'affixe du point Mn . Montre que pour tout entier naturel n, on a légalité :
3-
a - Montre que pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :
les points Mn et Mn + 6 sont diamétralement opposés;
les points Mn et Mn + 12 sont confondus.
b- Montre que pour tout entier naturel n, on a l'égalité :
4-
12 cartons indiscernables au toucher, marqués M0 , M1
, M2 , ..., M11 sont disposés dans une urne.
On tire au hasard et simultanément 3 cartons de l'urne. Calcule la probabilité
d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.
solution
1- les données :
nous
permettent de placer les points
M0 , M1
, M2 , ..., M11 sur le cercle (C) et on obtient
la figure suivante :
2- on a successivement :
3-a
3-b
et
ceci pour tout entier naturel n.
Donc on a également les égalités :
4-
On
sait que chaque ensemble de 3 points distincts pris parmi les 12 points (voir
figure ci-dessus) est un évènement possible.
plan complexe, rotation et arithmétique
On considère la transformation f du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par :
On définit une suite de points (M n ) de la manière suivante :
1-
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
2- Montrer que pour tout entier naturel n , on a :
3-
On donne deux entiers n et p tels que n soit largement supérieur à p.
4-
a- On considère l'équation (E) :
solution
1-
La définition de la suite (M n ) nous permet de placer les points M 0 ; M 1 et M 2 et on obtient la figure suivante :
2-
3-
4-
a-
Pour (x,y) = (4,9) on a :
b-
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