NON NOVA , SED NOVE...(page 3)

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(cette page est exclusivement dédiée à toutes celles et tous ceux qui souhaitent approfondir leurs connaissances en mathématique ; son contenu n'est inscrit dans aucun des programmes du collège et du lycée)

1-1-3 Constructions formatives

On associe à chaque signe spécifique un nombre entier naturel, appelé son poids .
Ce nombre est pratiquement toujours égal à 2 .

Un assemblage sera dit de première espèce s'il commence par

Il sera dit de deuxième espèce dans les autres cas .

Une construction formative d'une théorie T est une suite d'assemblage possédant la propriété suivante :

pour chaque assemblage A de la suite, l'une des conditions suivantes est vérifiée :

a- A est une lettre,

b- Il y a, dans la suite, un assemblage de deuxième espèce B

c- Il y a, dans la suite, deux assemblages de deuxième espèce B

d- Il y a, dans la suite, un assemblage de deuxième espèce B

e- Il y a un signe spécifique s de poids n de T , et n assemblages de première espèce A₁ , A₂ , ... , A_n précédant A dans la suite, tels que A soit sA₁A₂...A_n

On appelle termes de T les assemblages de première espèce figurant dans les constructions formatives de T .

On appelle relations de T les assemblages de deuxième espèce figurant dans les constructions formatives de T .

Exemples :

Dans la théorie des ensembles que tu noteras E, où le signe :

Que peut être le poids de ce signe ?

On te donne la suite d'assemblages S₁ suivante définie dans E :

Est-elle une construction formative ? Justifie ta réponse .

On te donne dans E la suite S₂ suivante :

Est-elle une construction formative dans E ? Justifie ta réponse .

Donne dans E deux exemples de construction formative .

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Quelques remarques :

1) Quelques auteurs réservent aux mots " terme " et " relation " respectivement les mots " objet " et " assertion " ; ainsi une relation est une assertion que l'on peut faire sur des objets .

2) La condition b de la propriété que doit vérifier une construction

4) L'assertion suivante :

est appelée implication logique et se lit " A implique logiquement B " ou encore " A entraîne B " .

Supposons que l'assertion B exprime une propriété de l'objet x .

6) La condition e signifie que si A₁ , A₂ , A₃ , ... , A_n sont des objets, et s un signe spécifique de poids n, alors s A₁ A₂ A₃ ... A_n est une assertion relative aux objets A₁ , A₂ , A₃ , ... , A_n .

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Exercice

Parmi les énoncés qui suivent lesquels sont vrais ? Justifie tes réponses

1-1-4 Critères formatifs

Les quatre critères qui suivent peuvent être facilement établis

Premier critère formatif :

Deuxième critère formatif :

Troisième critère formatif :

Quatrième critère formatif :

si A₁ , A₂ , A₃ , ... , A_n sont des termes d'une théorie T et si s est un signe spécifique de poids n de T, alors sA₁A₂A₃...A_n est une relation de T .

A partir des quatre critères ci-dessus, tu pourras établir facilement les six qui suivent :

Cinquième critère formatif :

Sixième critère formatif :

Septième critère formatif :

Huitième critère formatif :

Neuvième critère formatif :

Dixième critère formatif :

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1.2 Axiomes et théorèmes d'une théorie

1-2-1 Axiomes d'une théorie

Les signes spécifiques d'une théorie T nous ont permis d'y définir des termes et des relations .

Pour achever la construction de T, nous allons procéder de la manière suivante :

1) On énonce d'abord un certain nombre de relations de T . On dira que ces relations sont des axiomes explicites de T ; les lettres qui figurent dans ces axiomes sont les constantes de T .

2) On se munie d'une ou de plusieurs règles, qu'on appelle les schémas de T .

Ces schémas doivent présenter les particularités suivantes :

- l'application d'une règle R fournit une relation de T ;

Toute relation formée par application d'un schéma ou d'une règle de T est appelée " axiome implicite de T " .

1-2-2 Démonstrations dans une théorie

Une démonstration (on dit encore " texte démonstratif ") d'une théorie T se compose :

- d'une construction formative auxiliaire de termes et de relations
de T ;

- d'une suite de relations de T figurant dans la construction formative auxiliaire, telles que, pour chaque relation A de la suite, l'une au moins des conditions suivantes soit vérifiée :
   * A est un axiome explicite de T
   * A résulte de l'application d'un schéma de T à des termes ou
      relations figurant dans la construction formative auxiliaire
   * il y a dans la suite deux relations B, C précédant A, telles que

Toute relation figurant dans une démonstration de T est appelée théorème de T .

Parfois un théorème de T peut également s'appeler relation vraie de T, ou proposition de T, ou lemme de T, ou encore corollaire de T .

Soit A une relation de T, x une lettre, B un terme de T.

Une relation est dite fausse dans T si sa négation est un théorème de T .

On dit qu'une théorie T est contradictoire quand on y énonce une relation simultanément vraie et fausse .

Dans ce qui suit, tu aborderas l'ensemble des critères dits " critères de substitution " permettant d'abréger les démonstrations . Ils sont précédés de symboles tels que CS_i .

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Exercice

On te donne A et B deux relations d'une théorie T.

Ce critère que tu viens de démontrer permet d'abréger les démonstrations ; il s'appelle " syllogisme ".

1-2-3 Substitutions dans une théorie

Soient T une théorie, A₁ , A₂ , A₃ , ... , A_n ses axiomes explicites, x une lettre, B un terme de T .

(CS₃ )
Soient A un théorème de T, x une lettre qui n'est pas une constante de T .

Ce critère découle du premier ci-dessus .

1-2-4 Comparaison des théories

Une théorie T' est dite plus forte qu'une théorie T si tous les signes et schémas de T sont des signes et schémas de T' et si tous les axiomes explicites de T sont des théorèmes de T' .

(CS₄ )
Si une théorie T' est plus forte qu'une théorie T, alors tous les théorèmes de T sont des théorèmes de T' .

(CS₅ )
Soient T une théorie, A₁ , A₂ , A₃ , ... , A_n ses axiomes explicites,
c₁ , c₂ , c₃ , ... , c_k ses constantes, B₁ , B₂ , B₃ , ... , B_k des termes de T .

soient des théorèmes d'une théorie T', que les signes et schémas de T

soient les signes et schémas de T' .