L'ATELIER DU COLLEGIEN (3)

L'ATELIER DU COLLEGIEN
(page 3)

(groupe ciblé : troisième)

les thèmes abordés dans cette page

résolution des équations, de degré supérieur à 1 par rapport à l'inconnue, en utilisant les identités remarquables et par le procédé de factorisation

transformations ponctuelles

résolution des équations, de degré supérieur à 1 par rapport à l'inconnue, en utilisant les identités remarquables et par le procédé de factorisation

1- Rappel de cours

Les identités remarquables souvent utilisées en vue de résoudre des équations dont le degré est supérieur ou égal 2, sont :

2- Utilisation des carrés d’une somme et d’une différence

Il suffit de constater que l’un des membres de l’équation est de la forme :

Exemples :

On peut d’abord mettre 3 en facteur et il vient :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit.

3- Utilisation de la différence de carrés

Il suffit de constater que l’un des membres de l’équation est de la forme :

Exemples :

Rassemblons tous les termes dans le premier membre ; il vient :

Le premier membre est de la forme :

Nous avons donc :

L’équation s’écrit donc :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit ; donc :

L’équation admet donc pour ensemble de solutions :

Rassemblons tous les termes dans le premier membre ; il vient :

Le premier membre est de la forme :

Nous avons donc :

L’équation s’écrit donc :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit ; donc :

L’équation admet donc pour ensemble de solutions :

Le premier membre est le carré d’une fraction dont le dénominateur

(y + 1) doit être différent de 0.

L’équation n’a donc de sens que si :

Il faut donc rechercher les solutions de l’équation dans :

Rassemblons tous les termes dans le premier membre ; il vient :

Le premier membre est de la forme :

Nous avons donc :

L’équation s’écrit donc :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit ; donc :

Le dénominateur d’une fraction étant différent de 0, cette fraction s’annule lorsque le numérateur est égal à 0.

Donc, nous avons :

Ces deux valeurs de y sont toutes deux acceptables car elles sont différentes de – 1.
L’ensemble des solutions de l’équation est donc :

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4- Comment ramener une équation du second degré à une équation dont un membre est un produit de facteurs contenant au moins un du premier degré ?

D’abord une remarque importante :

Soit maintenant à résoudre l’équation :

a étant différent de 0, divisons les deux membres de l’équation par a ; il vient :

Considérons maintenant le carré de la somme :

Nous avons :

Cette dernière peut également s’écrire :

Cette dernière est donc de la forme :

Mais nous avons :

Nous avons donc :

Ainsi,

Finalement l’équation s’écrit :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit ; donc :

est logiquement équivalent à :

Étudions enfin le cas où A = 0. Nous avons donc :

L’équation s’écrit alors :

Conclusion générale :

Exemples

Nous avons :

Divisons les deux membres de l’équation par 3 ; il vient :

L’équation s’écrit donc :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit ; donc :

Nous avons :

L’équation s’écrit donc :

Donc l’équation s’écrit :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit ; donc :

L’ensemble des solutions dans R de l’équation est donc :

Nous avons :

Donc nous avons :

L’équation s’écrit alors :

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Il suffit de constater que :

Exemples

Le premier membre de l’équation est de la forme :

Nous savons que :

L’équation s’écrit donc :

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un de ces facteurs le soit ; donc :

Une des solutions de l’équation est donc 3.

Étudions l’équation :

Nous savons que :

Conclusion :

Cette équation peut s’écrire :

Elle est donc de la forme :

Nous avons donc :

Nous savons que :

Nous avons :

Conclusion :

Cette équation peut s’écrire :

Elle est donc de la forme :

Nous avons donc :

Nous avons :

Conclusion :

transformations ponctuelles

1- Définition générale d’une transformation ponctuelle

Dans un plan (P) quelconque, une transformation ponctuelle T est une application dans (P).

T applique à tout point M appartenant à (P) un point et un seul M’ appartenant à (P).

M’ sera appelé image de M par la transformation ponctuelle T. On écrit :

On dit aussi que le point M est l’antécédent du point M’ par T.

Si un point M du plan (P) coïncide avec son image, alors on dira que M est un point invariant
pour la transformation ponctuelle T.

On a donc :

Une transformation ponctuelle dans (P), notée Id, est dite transformation identique si et
seulement si elle rend invariant tout point de (P).

Dans ce cas, on a :

On a également :

2- Composition de deux ou plusieurs transformations ponctuelles

Soient dans un plan (P) deux transformation ponctuelles quelconques T et T’.

On appelle composée de T suivie de T’, la transformation ponctuelle, C, dans (P) définie
comme suit :

Cette écriture est donc logiquement équivalente à :

C peut également s’écrire :

Remarque importante : cette dernière écriture se lit « T’ rond T » qui signifie « T suivie de T’ ».

On peut donc lire, comme en langue arabe, de droite à gauche, T suivie de T’.

Propriétés de la composition des transformations ponctuelles

Il est évident que la composition des transformations n’est pas commutative ; c’est-à-dire
qu’en général, il existe au moins T et T’ telles que :

Dans un plan (P), pour toute transformation ponctuelle T, on a :

S’il existe une et une seule transformation T’ telle que :

alors on dira que T’ est la transformation ponctuelle symétrique de T par la composition des transformations ponctuelles.

Une transformation T dans un plan (P) est dite involution ou encore involutive si et seulement
si elle est identique à sa symétrique par la composition des transformations ponctuelle ; dans ce
cas on a :

Dans un plan (P), la composition des transformations ponctuelles est associative ; c’est-à-dire :

3- Image d’un ensemble de points d’un plan par une transformation ponctuelle

Soit dans un plan (P) une transformation ponctuelle T.

Soit un ensemble E quelconque de points M de (P).

L’ensemble E’ des points images des points M par T est appelé image de E par T ; il est noté :

Un ensemble E de points M de (P) sera dit invariant point par point, par T, si et seulement si
tout point M de E est invariant par T.

Un ensemble E de points M de (P) sera dit globalement invariant, par T, si et seulement si :

4- Rappel de deux transformations ponctuelles étudiées dans les classes antérieures

La symétrie centrale

Soit dans un plan (P) un point O quelconque.

On appelle symétrie centrale de centre O, la transformation dans (P) , notée S_O, et définie
comme suit :

Une autre définition de la symétrie centrale

On peut définir la symétrie centrale à l’aide des vecteurs ; en effet :

La symétrie centrale dans un plan muni d’un repère

Or,

On sait que deux vecteurs sont égaux (on dit aussi équipollents) si et seulement si leurs
composantes scalaires de même nom le sont ; ainsi :

Dans la symétrie centrale dont le centre est l’origine du repère, tout point M a pour image
le point M’ dont l’abscisse et l’ordonnée sont respectivement les opposées de celles de M.

Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs abscisses et leurs ordonnées
respectivement opposées, alors ils sont symétriques dans la symétrie centrale dont le centre
est l’origine du repère.

Conclusion

Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’origine du repère, il faut et
il suffit que leurs abscisses et leurs ordonnées soient opposées.

De cette conclusion, on peut déduire la propriété suivante :

Cette propriété permet de dire que d’une manière générale, l’image d’un vecteur par une symétrie
centrale est un vecteur qui lui est opposé.

Propriétés de la symétrie centrale

Le seul point du plan (P) invariant par la symétrie centrale de centre O est le point O.

Toute droite du plan (P) passant par le centre O de la symétrie centrale est globalement
invariante par cette symétrie centrale.

Démonstration

La droite (x’x) passe par O.

Tout point M de la demi-droite [Ox’), différent de O, a pour symétrique le point M’ de la
demi-droite [Ox), tel que :

Ces points M ne sont pas invariants par cette symétrie.

Cependant, l’image de [Ox) est [Ox’) et réciproquement ; donc la droite (x’x), union de ces
deux demi-droites, est globalement invariante par cette symétrie.

La symétrie centrale est une involution.

Démonstration

Dans le plan (P), soit une symétrie centrale quelconque S_O, de centre O.

Soit M un point quelconque appartenant à (P).

Soient :

On a donc :

Par conséquent,

Donc, M’’et M sont confondus et par conséquent,

Donc,

La symétrie centrale conserve l’alignement de points : si trois points sont alignés, alors leurs
images le sont également.

Toute droite du plan ne passant pas par le centre d’une symétrie centrale a pour image une
droite qui lui est parallèle.

On en déduit que la symétrie centrale conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont
pour images deux droites parallèles.

La symétrie centrale conserve l’orthogonalité de deux droites : deux droites perpendiculaires
ont pour images deux droites perpendiculaires.

La symétrie centrale conserve les distances.

La symétrie centrale conserve les milieux de segments : si S est un segment de milieu M,
alors son image S’est un segment de milieu M’, M’étant l’image de M.

La symétrie centrale conserve les angles.

La symétrie centrale conserve les aires.

La symétrie centrale conserve les propriétés géométriques d’une figure.
L’image d’un carré est un carré de même dimension ; l’image d’un rectangle est un rectangle
de mêmes dimensions, l’image d’un triangle est un triangle de mêmes périmètre et aire ; l’image
d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire.

Un triangle quelconque ayant pour orthocentre, centre du cercle qui lui est inscrit, centre du
cercle qui lui est circonscrit et centre de gravité, respectivement les points H, I, J et G, a pour
image par une symétrie centrale quelconque, un triangle dont l’orthocentre, le centre du cercle
qui lui est inscrit, le centre du cercle qui lui est circonscrit et le centre de gravité, sont les
symétriques H’, I’, J’ et G’ des points H, I, J et G.

Un cercle quelconque de centre P et de rayon r a pour image par une symétrie centrale
quelconque un cercle de centre P’, image de P par cette symétrie et pour rayon r.

Un cas particulier : si un cercle a son centre confondu avec le centre d’une symétrie centrale,
alors il est globalement invariant par cette symétrie.

La symétrie axiale

Soit dans un plan (P) une droite d quelconque.

On appelle symétrie axiale d’axe d, la transformation dans (P) , notée S_d, et définie
comme suit :

D est donc médiatrice du segment [MM’] : l’axe de symétrie est médiatrice du segment obtenu
en joignant un point à son image.

La symétrie axiale dans un plan muni d’un repère orthogonal

Par conséquent, (MM’) parallèle à l’axe des abscisses ; donc, les ordonnées de M, M’
et H sont égales.

Ainsi,

De plus,

Or, H appartient à l’axe des ordonnées ; donc son abscisse est nulle et ainsi :

Dans la symétrie axiale d’axe, l’axe des ordonnées du repère orthogonal, tout point M a pour
image le point M’ dont l’abscisse est l’opposée de celle de M et l’ordonnée est égale à celle
de M.

Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs abscisses opposées et leurs
ordonnées égales, alors ils sont symétriques dans la symétrie axiale, d’axe, l’axe des ordonnées
du repère orthogonal.

Conclusion

Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’axe des ordonnées du repère
orthogonal, il faut et il suffit que leurs abscisses soient opposées et leurs ordonnées égales.

On peut de la même façon établir les mêmes propriétés pour la symétrie axiale, d’axe, l’axe
des abscisses d’un repère orthogonal.

Dans la symétrie axiale d’axe, l’axe des abscisses du repère orthogonal, tout point M a pour
image le point M’ dont l’ordonnée est l’opposée de celle de M et l’abscisse est égale à celle
de M.

Réciproquement, si deux points M et M’ de ce plan ont leurs ordonnées opposées et leurs
abscisses égales, alors ils sont symétriques dans la symétrie axiale, d’axe, l’axe des abscisses
du repère orthogonal.

Conclusion

Pour que deux points du plan soient symétriques par rapport à l’axe des abscisses du repère
orthogonal, il faut et il suffit que leurs ordonnées soient opposées et leurs abscisses égales.

De ces conclusions, on peut déduire la propriété suivante :

Propriétés de la symétrie axiale

Dans un plan, l’ensemble des points invariants par une symétrie axiale d’axe d est d.

En effet, tout point appartenant à d est confondu avec son image par cette symétrie.

De plus, d est invariante, point par point, par cette symétrie.

Toute droite du plan rencontrant l’axe d de cette symétrie en un point I a pour image, par
cette symétrie, une droite rencontrant d au point I.

Toute droite D du plan parallèle à l’axe d de cette symétrie a pour image, par cette symétrie,
une droite parallèle à D et d.

Toute droite du plan perpendiculaire à l’axe d de cette symétrie est globalement invariante
par cette symétrie.

Démonstration

Tout point M de la demi-droite [Hx’), différent de H, a pour symétrique le point M’ de la
demi-droite [Ox), tel que :

Ces points M ne sont pas invariants par cette symétrie.

Cependant, l’image de [Hx) est [Hx’) et réciproquement ; donc la droite (x’x), union de
ces deux demi-droites, est globalement invariante par cette symétrie.

La symétrie axiale est une involution.

La démonstration de cette propriété est facile ; la méthode est identique à celle utilisée
pour la symétrie centrale.

La symétrie axiale conserve l’alignement de points.

La symétrie axiale conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont pour images deux
droites parallèles.

La symétrie axiale conserve l’orthogonalité de deux droites : deux droites perpendiculaires
ont pour images deux droites perpendiculaires.

La symétrie axiale conserve les distances.

La symétrie axiale conserve les milieux de segments.

La symétrie axiale conserve les angles.

On verra au lycée qu’elle ne conserve pas leur orientation ou sens.

La symétrie axiale conserve les aires.

La symétrie axiale conserve les propriétés géométriques d’une figure.

L’image d’un carré est un carré de même dimension ; l’image d’un rectangle est un
rectangle de mêmes dimensions, l’image d’un triangle est un triangle de mêmes périmètre
et aire ; l’image d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire.

Un triangle quelconque ayant pour orthocentre, centre du cercle qui lui est inscrit, centre du
cercle qui lui est circonscrit et centre de gravité, respectivement les points H, I, J et G, a pour
image par une symétrie axiale quelconque, un triangle dont l’orthocentre, le centre du cercle
qui lui est inscrit, le centre du cercle qui lui est circonscrit et le centre de gravité, sont
les symétriques H’, I’, J’ et G’ des points H, I, J et G.

Un cercle quelconque de centre P et de rayon r a pour image par une symétrie axiale
quelconque un cercle de centre P’, image de P par cette symétrie et pour rayon r.

Un cas particulier : si un cercle a son centre appartenant à l’axe de la symétrie axiale,
alors il est globalement invariant par cette symétrie.

4- La translation

4-1 Définition

On a donc :

Si x, y sont les coordonnées de M dans ce repère et si x’, y’ sont celles de l’image M’
dans ce même repère, alors on a :

Donc, on en déduit :

Ce sont les relations qui donnent les coordonnées de l’image M’, en fonction de celles du
point M, dans cette translation.

La translation de vecteur nul est égale à la transformation identique.

4-2 Propriétés de la translation

La translation n’est pas involutive.

La composée de deux translations est une translation.

Démonstration

Or,

L’addition vectorielle donne :

Par conséquent :

La composée de deux translations est une translation de vecteur la somme vectorielle
de leurs vecteurs.

Démonstration

On a :

On dit aussi que deux translations symétriques ont leurs vecteurs opposés.

La translation n’admet aucun point invariant.

Toute droite du plan, parallèle à la direction du vecteur qui définit la translation est globalement
invariante par cette translation.

Démonstration

Donc, (MM’) est parallèle à (AB) ; Or, par M ne passe qu’une seule droite, (d), parallèle à (AB).

par conséquent, M’ appartient à (d).

Pour tout point M de (d) a donc son image appartenant à (d) ; (d) est ainsi globalement invariante
par la translation donnée.

L’image d’une droite non parallèle à la direction du vecteur qui définit la translation est une
droite qui lui est parallèle.

Démonstration

Soient deux points M et N distincts appartenant à (d).

On a :

Par conséquent,

Ce qui implique que le quadrilatère (MM’N’N) est un parallélogramme.

Donc, les droites (MN) = (d) et (M’N’), image de (d) par cette translation, sont parallèles.

La translation conserve l’alignement de points.

La translation conserve le parallélisme : deux droites parallèles ont pour images deux
droites parallèles.

A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.

La translation conserve l’orthogonalité de deux droites : deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires.

A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.

La translation conserve les distances.

A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.

La translation conserve les milieux de segments.

La translation conserve les angles.

A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.

La translation conserve les aires.

A titre d’exercice, je te laisse démontrer cette propriété.

La translation conserve les propriétés géométriques d’une figure.

L’image d’un carré est un carré de même dimension ; l’image d’un rectangle est un rectangle
de mêmes dimensions, l’image d’un triangle est un triangle de mêmes périmètre et aire ; l’image
d’un polygone quelconque est un polygone de mêmes périmètre et aire.

De plus, les côtés homologues dans cette translation ont leurs directions parallèles.

Un cercle quelconque de centre P et de rayon r a pour image par une translation un cercle de
centre P’, image de P par cette translation et pour rayon r.

La composée de deux symétries centrales de centres différents est une translation.

Démonstration

Soient dans un plan deux symétries centrales S_O, S_O’ de centres O et O’.

Soit M un point quelconque de ce plan distinct de O et de O’.

On a :

De plus on a l’égalité vectorielle :

Or, les propriétés de la symétrie centrale donnent :

Donc,

Finalement,

On écrit :

Dans un plan, la composée S_O’ ○ S_O, de deux symétries centrales S_O et S_O’ de centres
respectifs O et O’, distincts, est égale à la translation de vecteur :

A titre d’exercice, je te laisse démontrer que :

Dans le plan, la composée de deux symétries axiales d’axes parallèles d et d’ est une translation.

Si la distance de d à d’ est égale à a, alors le vecteur de cette translation a pour longueur
géométrique (on dit aussi module) égale à 2a.

Démonstration

[AB] est le segment porté par la perpendiculaire commune à d et d’ ; la distance de d à d’
est donc AB égale a.

Or,

On écrit :

A titre d’exercice, démontre que :

5- La rotation

5-1 Définition

Soit dans un plan (P) un point O quelconque.

On appelle rotation de centre O et d’angle de mesure a, a étant donnée en degrés, la transformation ponctuelle, notée Rot(O,a), appliquant à un point M différent de O, quelconque, appartenant à (P), l’unique image, le point M’ de (P) tel que :

5-2 Propriétés d’une rotation

Soit dans un plan une rotation quelconque Rot(O,a), l’angle de rotation, de mesure a, étant
balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

L’image d’une droite par cette rotation est une droite.

L’image d’une droite quelconque passant par le centre de rotation O est une droite passant
par ce centre.

Rot(O,a) conserve l’alignement de points.

Rot(O,a) conserve le parallélisme et l’orthogonalité : si deux droites sont parallèles
(ou perpendiculaires), alors leurs images sont parallèles (ou perpendiculaires).

Rot(O,a) conserve les angles.

Rot(O,a) conserve les distances.

Rot(O,a) conserve les milieux de segments.

Rot(O,a) conserve les propriétés d’une figure géométrique : l’image d’un polygone quelconque
est un polygone de mêmes périmètre et aire.

Si un cercle du plan a pour centre, le centre O de RotO,a), et si a est différente de 360^°,
alors ce cercle est globalement invariant par cette rotation.

Si a est égale à 360^°, alors ce cercle est invariant point par point.

Dans un plan, la composée de deux rotations Rot(O,a) et Rot(O,b), de même centre O est une
rotation de centre O et d’angle égal à la somme des angles a et b. De plus, la composition des
rotations de même centre est commutative.

On écrit :

On en déduit un cas particulier : a et b sont supplémentaires

Dans ce cas, la composée se réduit à la symétrie centrale S_O.

Dans un plan, la composée S_d’ ○ S_d de deux symétries axiales d’axes les deux droites d et d’ concourantes au point O, d et d’ formant un angle aigu mesurant a, a étant balayé dans le sens
contraire des aiguilles d’une montre, est égale à la rotation Rot(O,2a).

Démonstration

Or,

Par conséquent,

Par ailleurs, OM et OM’’ sont égales.

Par conséquent, la composée S_d’ ○ S_d est égale à Rot(O,2a).

Cas particulier : a est égale à 90°

Dans ce cas, la composée se réduit à la symétrie centrale S_O.

Exercices

Solution

On sait que :

Donc,

Deux vecteurs sont égaux (on dit aussi équipollents) si et seulement si leurs composantes
scalaires de même nom sont égales ; donc :

Ces deux égalités impliquent :

Solution

On sait que la symétrie centrale de centre O, origine du repère, transforme un point M(x,y)
en un point M’(– x , – y).

En posant S_O, on obtient :

On sait que la symétrie axiale d’axe, l’axe des abscisses, transforme un point M(x,y) en un
point M’(x , – y).

En posant S_x’x, on obtient :

On sait que la symétrie axiale d’axe, l’axe des ordonnées, transforme un point M(x,y) en un
point M’(– x , y).

En posant S_y’y, on obtient :

Dans le plan, on donne un triangle quelconque (ABC).

Soit A’ le symétrique de A par rapport à la droite (BC).

Démontre que l’aire du triangle (A’BC) est égale à celle du triangle (ABC).

Solution

Les triangles (ABC) et (A’BC) sont symétriques dans la symétrie axiale d’axe (BC).

Or, on sait que la symétrie axiale conserve les aires, donc les triangles (ABC) et (A’BC)
ont même aire.

Dans le plan, on donne le parallélogramme (ABCD) de centre O (O est donc l’intersection
de ses diagonales).

Démontre que les triangles (ABD) et (CDB) ont même aire. Que peux-tu en conclure ?

D’un point quelconque K appartenant à (BD), on mène une droite parallèle à (AB) qui
rencontre (BC) et (AD) respectivement en G et H.

Toujours de K, on mène une droite parallèle à (BC) qui rencontre (AB) et (DC)
respectivement en E et F.

Démontre que les aires des parallélogrammes (KGCF) et (AEKH) sont égales.

Solution

Soit S_O la symétrie centrale de centre O.

On sait que dans un parallélogramme, l’intersection des diagonales est le milieu de ces dernières.

Par conséquent :

Ainsi,

Or, on sait que la symétrie centrale conserve les aires ; donc les triangles (ABD) et (CDB),
étant symétriques dans la symétrie centrale S_O, ont même aire.

Conclusion :
une diagonale d’un parallélogramme partage ce dernier en deux triangles de même aire.

Pour simplifier les écritures, l’aire d’une figure F se notera :

a(F).

D’après la conclusion ci-dessus, on a :

[BD] étant une diagonale du parallélogramme (ABCD), a(ABD) est égale à a(BCD)

[BK] étant une diagonale du parallélogramme (EBGK), a(EBK) est égale à a(BGK)

[KD] étant une diagonale du parallélogramme (KFDH), a(KHD) est égale à a(KFD)

Or, on a :

Deux quantités égales à une même troisième sont égales ; donc les parallélogrammes (AEKH)
et (KGCF) ont même aire.

Solution

Il s’agit là d’une construction géométrique.

Si A’ est l’image de A par la rotation Rot(O,30°), alors :

Je trace donc le cercle de centre O et de rayon OA.

Le point A’ sera l’intersection de ce cercle et de la demi-droite [Ox) faisant avec [OA)
un angle balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et égal à 30°.

Si B’ est l’image de B par la rotation Rot(O,30°), alors :

Je trace donc le cercle de centre O et de rayon OB.

Le point B’ sera l’intersection de ce cercle et de la demi-droite [Oy) faisant avec [OB)
un angle balayé dans le sens contraire des aiguilles d’une montre et égal à 30°.

Solution

On sait que la pente 2 de la droite d est la tangente de l’angle aigu que forme d avec
l’axe des abscisses.

L’image du support (x’x) de l’axe des abscisses par cette rotation est donc la droite D passant
par O et de pente 2.

Solution

La méthode : on calcule d’abord les coordonnées des images A’ et B’ de A et B par la
translation donnée ; puis on applique les formules donnant les coordonnées de M’ milieu
de [A’B’].